ماتریس

مقدمه :
شاید یکی از کاربردی ترین مفاهیم و مباحث ریاضی ، مبحث مربوط به ماتریس است که از آن به عنوان ابزاری قوی در مباحث دیگر ریاضیات و بخصوص در فیزیک کوانتم و علومی چون آمار ، حسابداری و …….. استفاده می وشد . امروزه ماتریس ها یکی از ابزارهای اساسی محاسبات علمی ریاضیات به حساب می روند و در واقع ، نقش امروز ماتریس ها در ریاضیات و پیشبرد آن ، مانند نقش دیروز اعداد است . ریاضیات کاربردی ، در تمام شاخه ها ، نیاز مبرم به ماتریس دارد ،

به خصوص که در بیش تر موارد حل مسائل عملی به نوعی با حل دستگاه های معادلات یا نامعادلات پیوند می خورد که حل چنین دستگاه هایی با ماتریس ها ارتباط تنگاتنگ دارد . ا زاین ور ، این مبحث حتی در سطح دبیرستان نیز از اهمیت ویژه ای برخوردار است ، به طوری که هم در کتاب درسی ریاضیات سال دوم ، هم در هندسه ی تحلیلی و جبر خطی دوره ی پیش دانشگاهی و هم در کتاب های ریاضی عمومی رشته های مهندسی از آن استفاده شده است . لذا ، با مطالعه و یادگیری مفاهیم مربوط به ماتریس ها و کاربرد آن ها ، یکی از جالب ترین و در عین حال ، مفید ترین موضوعات ریاضی بررسی خواهد شد .
تعریف ماتریس : بر اساس تعریفی که اولین بار یک ریاضیدان انگلیسی به نام «کیلی» برای ماتریس ارائه داد ، «ماتریس ، آرایشی از اعداد حقیقی است که روی سطرها و ستون های منظم قرار گرفته و با دو کروشه محصور شده باشند .» هر یک از اعداد حقیقی موجود در یک ماتریس را یک درایه یا عنصر آن ماتریس می نامند .
هر یک از آرایش های زیر یک ماتریس است : (ماتریس ها را با حروف بزرگ نشان می دهیم . )

هر درایه در یک ماتریس ، در تقاطع یک سطر با یک ستون قرار دارد ، مثلاً در ماتریس A ، عدد ۲ در تقاطع سطر اول با ستون دوم قرار دارد و یا در ماتریس B ، عدد در تقاطع سطر دوم و ستون دوم واقع است که در واقع ، جایگاه هر درایه در هر ماتریس با همین تقاطع ها مشخص و برای هر درایه در هر ماتریس دو اندیس در نظر گرفته می شود که اولی سطر و دومی ستون مربوط به آن درایه را معلوم می کند . برای مثال ، وقتی می نویسیم یعنی درایه ی روی سطر دوم و ستون سوم و برای هر ماتریس نیز دو اندیس در نظر گرفته می شود که اندیس اول ( از چپ ) تعداد سطرها و اندیس دوم تعداد ستون های آن ماتریس را نشان می دهد . برای مثال اگر B ماتریسی با دو سطر و سه ستون باشد ، می نویسیم و می گوییم « B ماتریسی ۲ در ۳ » یا «از مرتبه ی ۲ در ۳ » است ، و در حالت کلی اگر A ماتریسی باشد ، داریم :

برای راحتی در نوشتن و انجام عملیات بعدی روی ماتریس ها ، را درایه ی عمومی نامیده و هر ماتریس (مانند A) را با درایه ی عمومی به صورت نمایش می دهیم که در آن ، است.

مثال ۱: ماتریس که در آن برای هر داریم ، به صورت زیر مشخص می شود .

مثال ۲ : ماتریس که در آن برای هر داریم (علامت معرف جزء صحیح است ) ، به صورت زیر مشخص می شود .

تساوی دو ماتریس : دو ماتریس B,A را مساوی می نامیم و می نویسیم A,B را مساوی می

نامیم و می نویسیم A=B ، هرگاه A,B هم مرتبه و درایه های آن ها نظیر با هم برابر باشند ، یعنی اگر ، در این صورت :

مثال : هرگاه ، در این صورت ، حاصل را به دست آورید .

ماتریس های خاص
۱-ماتریس بعدی : ماتریسی که تعداد سطرها و ستون های آن با هم برابر باشد. ماتریس مربعی که دارای n سطر و n ستون باشد ، ماتریس مربعی از مرتبه ی n نامیده می شود .
تذکر ۱: در هر ماتریس مربعی از مرتبه ی n قطر اصلی شامل درایه های شد است.
تذکر ۲ : در هر ماتریس مربعی از مرتبه ی n داریم :
روی قطر اصلی قرار دارد
بالای قطر اصلی قرار دارد
پایین قطر اصلی قرار دارد
روی قطر فرعی قرار دارد
تذکر ۳ (اثر ماتریس ) : اگر A یک ماتریس مربعی از مرتبه ی n باشد ، مجموع درایه های روی قطر اصلی A را اثر ماتریس A می نامیم و با نماد trace (A) نمایش دهیم:

۲- ماتریس ستونی : ماتریسی که فقط یک ستون داشته باشد .
اگر A ماتریسی ستونی با m سطر باشد ، داریم :

۳- ماتریس سطری : ماتریسی که فقط یک سطر داشته باشد .
اگر B ماتریسی سطری با n ستون باشد ، داریم :

۴- ماتریس صفر : ماتریسی که تمام درایه های آن صفر باشد .
ماتریس صفر را با نماد نمایش می دهیم . برای مثال ماتریس صفر و ماتریس است
۵- ماتریس قطری : ماتریسی مربعی که تمام درایه های بالا و پایین قطر اصلی آن صفر باشند . ( درایه های واقع بر قطر اصلی می توانند صفر باشند . ) هر یک از ماتریس های زیر ، قطری هستند
به عبارت دی گر می توان گفت : قطری است .
تذکر : ماتریس مربعی صفر ، ماتریسی قطری است .
۶- ماتریس اسکالر : ماتریسی قطری که تمام درایه های واقع بر قطر اصلی آن با هم مساوی هستند (می توانند همگی صفر باشند ) هر یک از ماتریس های زیر اسکالر هستند :

تذکر : ماتریس مربعی صفر ، یک ماتریس اسکالر است زیرا قطری است و تمام درایه های قطر اصلی آن صفرند .
۷- ماتریس بالا مثلثی : ماتریسی مربعی که تمام درایه های واقع در پایین قطر اصلیِ آن صفر باشند ؛ به عبارت دیگر :
بالا مثلثی است .

ماتریس های زیر ، بالا مثلثی هستند :

۸- ماتریس پایین مثلثی : ماتریسی مربعی که تمام درایه های واقع در بالای قطر اصلیِ آن صفر باشند ، به عبارت دیگر :
پایین مثلثی است .
ماتریس های زیر ، پایین مثلثی هستند :

تذکر : ماتریس های قطری ، هم بالا مثلثی و هم پایین مثلثی هستند . هرگاه ماتریسی هم بالا مثلثی و هم پایین مثلثی باشد ، همواره قطری است .
۹- ماتریس همانی یا واحد : ماتریس اسکالری که تمام درایه های روی قطر اصلیِ آن یک است . ماتریس همانی از مرتبه ی n را با نشان می دهیم .

حال ، پس از معرفی چند ماتریس خاص به اعمال روی ماتریس ها ( جبر ماتریسی ) می پردازیم . این اعمال عبارتند از :
(I) عمل جمع ماتریس ها
(II) عمل ضرب عدد در ماتریس ها
(III) عمل ضرب ماتریس ها

توجه داشته باشید که چون هر ماتریس مربعی از مرتبۀ ۱ باهمان درایه ی خودش که عددی است حقیقی ، برابر است ، یعنی ؛ می توان نتیجه گرفت که اعداد در واقع حالت خاصی از ماتریس ها به حساب می آیند و اعمال بالا روی ماتریس ها باید به گونه ای باشد که بتوان جمع و ضرب معمولی در اعداد حقیقی را از آن ها نتیجه گرفت.
(I جمع ماتریس ها

اگر B,A دو ماتریس هم مرتبه باشند و فرض کنیم در این صورت داریم :

در واقع اگر فرض شود ، در این صورت :
به این مثال توجه کنید :

نتیجه ی ۱ : تعریف فوق بیان می کند که حاصل جمع دو ماتریس از مرتبه ی ماتریسی است هم مرتبه با آن ها که هر درایه ی آن از جمع درایه های نظیرش در دو ماتریس حاصل می شود .
نتیجه ی ۲ : ماتریس صفر عضو خنثی نسبت به عمل جمع در ماتریس هاست ، زیرا :

و به همین ترتیب ثابت می شود ؛ پس ماتریس صفر عضو خنثی است .
نتیجۀ ۳ : ماتریس ها نسبت به عمل جمع خاصیت جابجایی دارند ، زیرا :

نتیجه ی ۴ : ماتریس ها نسبت به عمل جمع خاصیت شرکت پذیری دارند ، یعنی:

(اثبات به عهده ی دانش آموزان ، با استفاده از خاصیت شرکت پذیری در جمع اعداد حقیقی)
تعریف : قرینه ی ماتریس A را با (-A ) نمایش می دهیم و اگر در این صورت (-A ) را به شکل زیر تعریف می کنیم :

به مثال های زیر توجه کنید :

ننتیجه ی ۵ : حاصل جمع هر ماتریس (مانند A) با قرینه اش (-A) ، ماتریس صفر است .

به همین ترتیب ثابت می شود :
(II ضرب عدد در یک ماتریس
اگر ماتریسی دلخواه و باشد ، در این صورت ، طبق تعریف داریم :

نتیجه ی ۱ : تعریف فوق بیان می کند که اگر بخواهیم یک عدد حقیقی را در یک ماتریس ضرب کنیم ، باید آن عدد را در تمام درایه های آن ماتریس ضرب کنیم . به مثال زیر توجه کنید:

نتیجه ی ۲ : اگر تمام درایه های ماتریس A در K ضرب شده باشند ، می توان از k در تمام درایه ها فاکتور گرفت و k را در پشت ماتریس قرار داد .

خواص ترکیبی جمع ماتریسی و ضرب عدد در ماتریس : ( اثبات هر یک از این خواص به راحتی امکان پذیر و ساده است ) .

اگر B,A دو ماتریس مربعی و هم مرتبطه و s , r اعدادی حقیقی باشند ، داریم :

اثبات ۶ : از نتیجه می گیریم که تمام درایه های صفرند . به عبارت دیگر :

مساله : نشان دهید که هر ماتریس و دلخواه را می توان بر حسب (ترکیب خطی) ماتریس های نوشت.
حل : فرض کنیم ماتریسی و دلخواه باشد ، در این صورت می توان نوشت :

مسأله : با توجه به دستگاه زیر ، ماتریس های B,A را به دست آورید .