ماهيت فلسفه
تقسيم بندي بر اساس سوالاتي از قبيل :
 ماهيت وجود
 ماهيت حقيقت
 ماهيت معرفت
 ماهيت زيبايي
طبقه بندي

 ايده آليسم
 واقعگرا
 پراگماتيسم
 مفهوم گرا
 فلاسفه پيرورواقيون آن را به فيزيک، اخلاق و منطق تقسيم مي کردند.
 برخي فلاسفه آن را به مابعد الطبيعه، معرفت شناسي، منطق وارزش شناسي تقسيم مي کنند.

برخي نظرات
 سوزانا لانگر : فلسفه بيشتر توسط تنظيم مسئله هاي خود مشخص مي شود تا راه حل هايش براي آنان.
 نلسون گودمن : شايد روزي فرا رسد که در فلسفه بيشتر
 ” بررسي ” انجام گيرد تا ” مجادله ” و فلاسفه همانند صاحبان علم بيشتر بر حسب عناويني که بررسي ميکنند شناخته مي شوند تا نظرياتي که دارند.
فلسفه علم فيزيک و رياضي
 در فلسفه علم فيزيک از مفا هيم بنيادي چون جرم ، زمان و طول بحث ميشود.
 در فلسفه رياضيات اينکه مباني رياضيات بر چه چيزهايي قرار دارد بحث مي شود.
فلسفه هر علم نقد آن علم است.
فلاسفه چگونه مي انديشند

 پلوتارک : سقراط نه صندلي براي شاگردانش چيده بودونه برکرسي مي نشست، نه ساعاتي رابراي سخنرانيهايش از پيش تعيين مي کرد. اوهميشه درحال فلسفيدن بود. هنگامي که لطيفه مي گفت، موقعي که درحال آشاميدن بود درآن حال که درخدمت سربازي بود هرجا شما رادرخيابان ملاقات مي کرد، وسرانجام هنگامي که درزندان بود و زهررا مي نوشيد.
رسالت فلسفه
 يک وظيفه عمده فلسفه تصريح اين مطلب است که چه راهنمايي مي تواند براي تجربه کردن منطقي به نظر آيد، آيا آنجا که چنين صراحتهايي بتواند پيش از تجاربي خاص روشن گردد، انها از نظر نقش مقدم بر آن تجارب خاص مي باشند؟

 فلسفه در پرتو تجربه در حال انجام خود ، قوانين خود را ، که همان فهم از خود فلسفه است تبيين ميکند.
 نتيجه فلسفه تعدادي قضيه فلسفي نيست، بلکه روشن ساختن قضيه ها است.
طبقه بندي براساس مقاصد علمي
 فلسفه فيزيک
 فلسفه رياضي
 فلسفه هنر
 فلسفه تاريخ
 فلسفه آموزش و پرورش
 فلسفه فلسفه
نظرات برخي فلاسفه در ماهيت فلسفه
 برتراند راسل : فلسفه اي مناسب است که با مطالب مورد علاقه مردم تحصيل کرده معمولي سروکار داشته باشد.
 سي.اي. لوييس : ويژگي ممتاز فلسفه اين است که فلسفه کارهرکسي است.
 نلسون گودمن : فلسفه به عنوان نقشي است براي روشن ساختن پيچيدگي ودرهمي سطوح اسفل تا سطوح اعلي سطح تفکر.
 اچ گوردون هولفيش : فلسفه به انسان درتفکر به نتايج اعمال روزانه کمک مي کند تا با حکمتي بيشتر نتايجي برگزيند تا تفکراتش را عميق کند.

 افلاطون : پادشاهان بايد فيلسوف باشند!
 وتينگشتاين : فلسفه نظريه نيست بلکه عمل است.
ويژگي ماهيت فلسفه
 بازتابشي
 خود پيروي : روش شناسي ومحدوديتهاي از درون تعريف شده واين به معني خود پيروي است.
اهم امور فلسفه
 معرفت ازحقيقت امور
 دريافت روابط ايده ها يا نظريات
 قضاوتهاي ارزشي
علم و فلسفه
 مقصد نهايي علم : اصلاح وگسترش معرفت انسان از حقيقت امور
 مقصد نهايي فلسفه : بهبود کيفيت قضاوتهاي ارزشي انسان
 سوالهاي علمي : چگونگي وبيان واقعيات
 سوالهاي فلسفي : بررسي ماهيت پديده ها
 مثالي ازکارعلمي دررياضي : اثبات يک قضيه
 مثالي ازکارفلسفي در رياضي : نقد روش اثبات
تمايزعلم وفلسفه
تمايزدرنحوه سئوالها

سوالهاي فلسفي
 عدد چيست ؟
 آيا هندسه تبيين فيزيکي جهان خارج است يا علمي است مجرد وذهني ؟
 ذوات رياضي کدامند ؟
 منطق حاکم برقضايا کدامند ؟
تمايزدرنحوه سئوالها
سئوالهاي علمي
 عدد مختلط چيست ؟
 تعريف مجموعه چيست ؟
 بيان قضيه فيثاغورس درهندسه چگونه است ؟
 نظريه نسبيت انيشتين چه مي گويد ؟
نقدي بر برخي نظرات
 بعضي مي گويند

” فلسفه علم ، نگاه است به علم ازبيرون ”
بايداذعان کرداين گفته درستي نيست. کسي که رياضي نمي داند فلسفه رياضي نيزنخواهد دانست. کسي که تخصص علم فيزيک ندارد ازماهيت اين علم چيزي نخواهد فهميد. فيلسوف رياضي رياضيداني آشنا به روش رياضي بوده و مباني کلاسيک رياضيات را فهميده وتدريس کرده است.
بحرانهاي تاريخي در مباني رياضيات
بحران اول
 زمان : قرن پنجم قبل ازميلاد
 منشا بحران : کميتهاي هندسي نامتناسب

 رفع بحران : ۳۷۰ سال قبل ازميلاد توسط ادوکسوس
 تلاشي ديگردرراستاي رفع بحران : ۱۸۷۲ ريچارد ددکيند
 نتيجه تاريخي : ابطال نظريه فيثاغورثيان درباب کميتها
بحران دوم
 زمان پيدايش بحران : اواخرقرن هفدهم
 منشا بحران : کشف حساب ديفرانسيل وانتگرال توسط نيوتن ولايپ نيتز
 موضوع بحران : تناقض و پارادوکسها درمفاهيم مشتق و نمومتغيرونسبت تغييرنموبه رشد
 مفاهيم مبهم : کميتهاي بينهايت کوچک، سريهاي نامتناهي ، توان صفر
تلاش براي رفع بحران
 کارل وايراشتراوس : مقابله با شهودهندسي درآناليز با ارائه تابعي همه جا پيوسته وهيچ جا مشتق پذير
 لئونارد اويلر: وضع فرمولگرايي درآناليز
 جوزف لويز لاگرانژ : بسط تابع به سري تيلور
 گاوس : طرح استانداردهاي منطقي آناليزوطرح سريهاي ابرهندسي
 آگوست لويوئي : وضع مفاهيم اتصال مشتق وانتگرال معين به شيوه اي نوين
 ريمان: ارائه انتگرال ريمان
بحران سوم
 زمان پيدايش بحران : ۱۸۹۷ و ۱۹۰۲

 ويژگي : عدم رفع کامل بحران
 زمينه بحران : پارادوکسهاي موجود درتئوري عمومي مجموعه هاي کانتور
 ظهوراولين پارادوکس : ۱۸۹۷ توسط برالي فورتي در تئوري مجموعه ها
 ظهوراولين پارادوکس : ۱۸۹۸ توسط کانتور در تئوري مجموعه ها مشابه پارادوکس برالي فورتي
 ظهوردومين پارادوکس : ۱۹۰۲ توسط برتراند راسل در تئوري مجموعه ها در خصوص مفهوم مجموعه
تلاش براي رفع بحران
 ۱۹۰۸ زرملو
 ۱۹۱۸ هرمان وايل
 فرا نکل
 اسکولم
 فن نويمان
 برنانز
تئوري بنداشتي اعداد حقيقي
 اواخرقرن نوزدهم
 پاسخي براي حل بحران دوم
 قدمي براي فهم حساب ديفرانسيل وانتگرال
 راهي بسوي منطق گرايي
تئوري بنداشتي اعداد حقيقي
 سابقه تاريخي : بابليان، هنديان وايرانيان
 بابليان : معرفي نماد صفر

 هنديان : معرفي نماد صفر
 ايرانيان : توسعه جبر
فلسفه هاي رياضي
منطق گرائي
 پنداشتن رياضيات به عنوان شاخه اي ازمنطق
 تبديل شدن منطق به کل رياضيات
 بيان تمام مفاهيم رياضي به کمک منطق
 تمايزنامحسوس رياضيات ومنطق
 پنداشتن تمام قضاياي رياضي به عنوان قضايائي ازمنطق
 اولين پايه گذار : فرگه
 فرگه: فقط قوانين عدد را مي توان به قوانين منطق تاويل کرد
 دومين پايه گذار: برتراند راسل
 راسل :همه رياضيات را مي توان به منطق تاويل کرد
 شيوه فهم اين استدلال : بيان هندسه به کمک هندسه تحليلي
 ويژگي استدلال :استفاده از”ايده هاي اوليه” ، ”احکام اوليه “
 استفاده ازتئوري طبقات وحساب گزاره ها
 سومين پايه گذار :وايتهد
 وايتهد : همه رياضيات را مي توان به منطق تاويل کرد

کتاب ” اصول رياضي ” تلاش راسل ووايتهد درراستاي منطق گرايي
 استفاده ازتئوري طبقات
 استخراج رياضيات ازاعداد طبيعي
 بکار گيري ”صفر ”، ” تالي“ و”عدد طبيعي“
 استفاده ازاصول پئانو
تئوري طبقات
 اصل تئوري طبقات : قراردادن مجموعه ها ، مجموعه مجموعه ها و….. در يک سلسله سطوح يا طبقات
 عدم قبول مجموعه هائي با عضو هائي ازطبقه اي غيراز طبقه بلافاصله پايين ترازطبقه خودآن
 وارد کردن مفهوم ” بي معني ” به فلسفه
 نفي قانون طرد شق ثالث
 عناد راسل درتقابل با پارادوکسها
 اصل دورباطل ونقض پارادوکسها

 

بررسي عميق در باب تئوري طبقات
 وجود دونوع پارادوکس : پارادوکس ناشي ازمعاني الفاظ يا تناقض معنوي وپارادوکس ناشي ازتئوري مجموعه ها
 پارادوکس اپيمنديس از نوع معنوي
 عدم پردازش تئوري طبقات به پارادوکسهاي معنوي
 تئوري طبقات به عنوان وسيله اي در انتظار پيدا شدن وسيله بهتري براي متوقف ساختن پارادوکسها
 نظريه راسل به عنوان راه حلي موقت

 ” اصل بيکراني ”راسل و وايتهد راهي براي توجيه شکاف تئوري طبقات و تصديق وجود تعداد بيشماري ذاتها از نوع پايين ترين طبقه
 مطابقت نداشتن اصل بيکراني با فلسفه واقعگرايي که بنا بر آن فرض بر اين است کهرياضيات عدد فقط آنچه را که ما از پيش درباره برخي ذاتهاي مجرد مي دانيم بيان مي کند
 نقايص ديگر تئوري طبقات : عدم پذيرش ” مجموعه مجموعه ها ” ، ” مجموعه تهي ” و” مکمل مجموعه “ و اينکه براي هر طبقه در سلسله مراتب طبقات عدد ” يک ” تازه اي وجود دارد. اين وضع براي بقيه اعداد طبيعي نيز در هر طبقه رخ مي دهد.
 ” اصل تحول پذيري ” راسل راهي براي فرار از معضل به وجود آمده براي اعداد طبيعي
شهود گرائي
 سابقه تاريخي : زمان کانت
 تزشهود گرايان : ساختن اشيا وبرهانهاي رياضي با گامهاي متوالي و متناهي
 قرارداشتن پايه رياضيات بر شهود اوليه
 درک ما از ” قبل و بعد ” ودرک يک شيئ مشخص و سپس ادراک هاي بعدي متوالي وبي پايان
 حصول اعداد طبيعي به روش فوق
کانت و شهود گرائي
 اعداد وقتي وجود دارند که بتوان آنها راشمرد
 عدم وجود بزرگترين عدد
 عدم وجوداعداداصلي نامتناهي
 عدم وجود حداکثرطول درهندسه
شهود گرائي
 ارائه نظريه بيکران بالقوه به جاي بيکران بالفعل توسط کانت
 هم خواني نظريه کانت باارسطو درباب بي کراني بالقوه
 اصراربرگامهاي ساختار گرايانه و طي گامهاي متناهي
شهود گرائي معاصر با نظريه ساختارگرائي
 چهره شاخص : ال. اي. جي بروئورهلندي
 اعمال روش ساختارگرانه تئوري مجموعه ها
 سلب امکان وجود مجموعه هاي پارادوکس زا

 قويترشدن تدريجي فلسفه بروئوربا گذشت زمان
شهود گرايان درتقابل با نظريه کانتور
 شهود گرائي درمقابل نظريه کانتور مبني براينکه تعداد اعداد حقيقي بيشترتعداداعداد طبيعي است.
 استفاده ازبسط اعشاري نامتناهي يک عدد حقيقي براي اثبات ادعاي فوق توسط کانتوروسزنده نبودن اين استدلال ازديد شهود گرايان
شهود گرايان ورد “ قانون طرد شق وسط ”
 شهود گرائي درتقابل با مواردي دررياضيات که نه براي صحتشان دليلي پيدا شده ونه براي بطلانشان مانند
” آخرين قضيه فرما ”
و” حدس گلدباخ ”.
 اصرارشهود گرايان براينکه درمواردي مثل دومورد فوق بايد به صراحت تصميم گرفت وچون صحت يا سقم مشخص نيست پس حکم برشق وسط يعني
” نه صحيح ونه نادرست ”
رابايد پذيرفت.
تئوري هاي قرباني شده بشرط پذيرش شهود گرائي
 اولين مورد : تئوري اعداد اصلي کانتور
 دومين مورد : هرمجموعه کراندار ازاعداد طبيعي يک کران بالا دارد
 اصل موضوع انتخاب زرملو ( تاواني بسيار سنگين )
 ساير اصول هم ارز اصل موضوع انتخاب نظير
لم زرن، اصل خوشترتيبي ، استقرا
 دراصول رياضيات راسل ووايتهد قانون طرد شق وسط و قانون تناقض هم ارزانگاسته شده ولي براي شهودگرايان اين وضع قابل قبول نيست وتلاش براي دستگاه منطقي که درآن ايده هاي شهودگرايانه قابل تحمل باشد درسال ۱۹۳۰ توسط هيتينگ انجام گرفت ومنطق نمادي شهود گرايانه توسعه ورشد يافت.
چه مقدارازرياضيات را ميتوان با محدوديتهاي شهود گرايانه بازسازي کرد؟