مبحث تابع

تعريف زوج مرتب:
هر دستة متشكل از دو عنصر با ترتيب معين را يك زوج مرتب گويند. مانند زوچ مرتب (x,y) كه x را مؤلفه اول مختص اول يا متغير آزاد گويند و y را مؤلفه دوم مختص دوم متغير وابسته( تابع) يا تصوير گويند و نمايش هندسي آن نقطه‌اي در صفحة مختصات قائم است كه طول آن برابر x و عرض آن برابر y است.

تساوي بين دو زوج مرتب:
دو زوج مرتب با يكديگر مساوي‌اند اگر دو نقطه اگر مؤلفه‌هاي نظير‌به‌نظير آنها با هم برابر باشند يعني:

مثال: از تساوي زير مقادير x,y را بيابيد:

تعريف حاصل‌ضرب دكارتي دو مجموعه :
حاصلضرب دكارتي در مجموعه B,A كه با نماد نشان داده مي‌شود عبارت است از مجموعه تمام زوج‌ مرتبه‌هائي كه مؤلفة اول آنها از A و مؤلفه دوم آنها از B باشد يعني:

مثال: حاصلضرب دكارتي درهر يك از مثالهاي زير را بصورت مجموعه‌اي از زوجهاي مرتب بنويسيد و نمودار آن را در دستگاه محورهاي مختصات قائم رسم نمائيد:

نمودار حاصلضرب دكارتي مجموعه‌هاي داده شدة زير را در دستگاه محورهاي مختصات قائم رسم كنيد.

ويژگي‌هاي حاصلضرب دكارتي مجموعه‌ها :

 

فضاي دوبعدي ( صفحه) ۳) , ,
۴) , ,
۵) مثال:
تضاد زوجهاي مرتب:
تعريف رياضي رابطه:
اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند هر زيرمجموعه از حاصلضرب دكارتي را يك رابطه از A در B گويند اگر f يك زيرمجموعه از باشد گويند. F يك رابطه از A در B است به عبارت ديگر رابطه Fمجموعه تمام زوج مرتب‌هاي است كه مؤلفه‌هاي اول و دوم آن با شرايطي خاص( قانون يا ضابطة خاص) به يكديگر مربوط مي‌شوند. به بيان ديگر رابطه f زيرمجموعه‌اي از است كه با ضابطه يا قانون خود مختص اول زوجهاي مرتب را به مختص دوم آنها پيوند مي‌دهد مانند رابطه پدر و فرزندي رابطه مالك و مستأجري رابطه عبد و مولا رابطه اعداد با مجذور آنها.
مفهوم تابع: تابع بيانگر چگونگي ارتباط مقدار يك كميت(متغير وابسته y= ) به مقدار يك كميت ديگر( متغير مستقل x= ) است مفهومي كه خواص آن، انواع آن، نمودار‌ آن حد و پيوستگي آن؛ مشتق و انتگرالگيري از آن و… نه تنها در رياضيات بلكه درهمه علوم و فنون نقش مهمي ايفا مي‌كند و در زندگي خود نيز به نمونه‌هايي برمي‌خوريم كه مقدار يك كميتي( كميت تابع) به مقدار كميت ديگري( كميت آزاد) وابسته است؛
مثال: متغيرهاي وابسته (y) و متغيرهاي مستقل(x) را در مثالهاي زير مشخص كنيد:
۱) افزايش طول يك فنر به وزنه‌اي كه به آن آويزان مي‌شود بستگي دارد.
جواب: « افزايش طول فنر» = متغير وابسته(y ) و « مقدار وزنه» = متغير آزاد (x)
2) »هر كه بامش بيش، برفش بيشتر»
جواب:« مقدار برف انباشته‌شده روي پشت‌بام» = متغير وابسته(y ) و« مساحت پشت‌بام»= متغير آزاد
۳) مقدار مكعب هر عددي به آن عدد وابسته است.
جواب: مكعب عدد«= متغير وابسته(y ) و « خود عدد»= متغير مستقل(x )
تذكر: با توجه به اينكه هر تابع يك رابطه است( عكس اين مطلب درست نيست يعني هر رابط ممكن است تابع نباشد.

تعريف تابع:
اگر رابطهf بصورت مجموعه زوجهاي مرتب باشد آنگاه رابطةf را تابع گويندهرگاه هيچ دوزوج مرتب متمايزي در f داراي مؤلفه‌هاي اول يكسان نباشند يعني:

يا

مثال: اگر و باشد كداميك از رابطه‌هاي زير يك تابع از A در B است.

( تابع ثابت)
* دوزوج متمايز نيستند.

زيرا

مثال: اگر روابط زير تابع باشند مقادير متغير x را بيابيد:

تذكر:
* اگر رابطه f بصورت نمودار پيكاني باشد آنگاه رابطه f را تابع گويند هرگاه به هر x متعلق به دامنه f فقط‌وفقط يك مقدار y متعلق به برد f را نسبت داد به عبارت ديگر از هر عضو دامنه فقط‌وفقط يك پيكان به عضو متناظرش در برد خارج شود.
تذكر:
• اگر رابطة f بصورت نمودار مختصاتي باشد آنگاه رابطه f را تابع گويند هرگاه هيچ دونقطه‌اي f روي يك خط موازي با محور y واقع نشوند به عبارت ديگر هر خط موازي محور yها نمودار f را حداكثر در يك نقطه قطع كند.
• مثال كداميك از نمودارهاي زير تابع‌اند.

تذكر:
• اگر رابطه f با ضابطه يا قانوني كلي مشخص شده‌باشد آنگاه تابع f ضابطه يا قانوني است كه به هر x از دامنه (Df)f عضو،منحصر بفرد (y)f(x) از مجموعه بردf را نسبت دهد يعني هرگاه ضابطه رابطه f داده شد‌ه‌باشد براي تشخيص تابع‌بودن آن( نشان‌دادن تابع‌بودن ان نه اثبات تابع‌بودن)( از روي ضابطه مفروض y را برحسب x مي‌يابيم آنگاه اگر براي هر x متعلق به دامنه f فقط‌وفقط يك جواب براي y حاصل شود f تابع است در غيراينصورت f تابع نيست.
مثال: آيا روابط زير تابع‌اند بررسي كنيد:

f تابع نيست

لذا f تابع است.

f تابع است
چند نكته:
۱) جهت تصور مي‌توان هر تابع را بمنزله ماشيني گرفت كه براي هرx ورودي مجاز يك خروجي منحصر بفرد توليد مي‌كند پس f خود ماشين و خروجي آن بازاء ورودي x است لذا بين ماشين (f) و توليدي آن(f(0)) لازم است تفاوت قائل شويم يعني f: خود تابع و f(x) ضابطه يا قانون كلي تابع يا مقدار تابع بازاء x است.
۲) براي مشخص‌كردن يك تابع از« مجموعه زوجهاي مرتب نمودار پيكاني، نمودار مختصاتي و علائم رياضي استفاده مي‌كنند. براي مشخص‌كردن يك تابع با علائم رياضي بايد سه‌تائي زير معين گردد:
الف) مجموعه‌اي مانند A به نام مجموعه آغاز يا حوزة تعريف تابع كه دامنه تابع زيرمجموعه آن است
ب) مجموعه‌اي مانند B به نام مجموعه انجام هم دامنه يا حوزه مقادير تابع كه برد تابع زير مجموعه آن است:
ج) ضابطه قانون يا معادله تابع كه چگونگي ارتباط اعضاء دامنه و برد تابع را مشخص مي‌كند قانوني كه به هر عضو از A حداكثر يك عضو از B را نسبت مي‌دهد.
مثال: ۱- تابعي مانند f چنان مشخص كنيد كه هر عدد طبيعي را به مجذور آن نسبت دهد.

مثال:۲- مثلث متساوي‌الساقيني به ساق و ارتفاع ۴ مفروض است تابعي بنويسيد كه مساحت اين مثلث را به وابسته كند،.

و
نكته: ۳- تابع حقيقي: تابع f از A به B را يك تابع حقيقي گوئيم هرگاه B,A زير مجموعه‌هايي از R ( مجموعه اعداد حقيقي) باشند و ما از اين پس با مربع حقيقي سروكار داريم و هرگاه تابع حقيقي f از R به R باشد آنها به مشخص‌كردن قانون تابع قناعت مي‌كنيم لذا هرگاه دامنة تابعي حقيقي مشخص نشده‌باشد دامنة آن مجموعه‌اي از اعداد حقيقي است كه بازاء هر عضو آن قانون تابع تعريف شده‌باشد.
۴) اگر براي عضو X ا زمجموعه A عضو متناظري در مجموعه B وجود نداشته‌باشد در اين صورت گرفته مي‌شود كه تابعf در x تعريف نشده‌است يا تابع f د رx نامعين است.

تعريف‌نشده
۵) براي اثبات اينكه آيا ضابطة يك رابطه مي‌تواند ضابطه يك تابع باشد از تعريف تابع استفاده مي‌كنند و درستي استلزام زير را درباره آن ضابطه ثابت مي‌كنند.

يا
مثال: تابع‌بودن يا نبودن ضابطه‌هاي زير را ثبات نمائيد:

و
لذا f تابع نيست.

و
اما f تابع نيست.

و

لذا f تابع است.
۶) هرگاه دامنه يك تابع را به چند مجموعه جدا از هم تقسيم كنيم بطوريكه اجتماع آن مجموعه‌ها برابر با دامنة تابع باشد و روي هر مجموعه ضابطه‌اي مجزا تعريف كنيم در اين صورت يك تابع با چند ضابطه بدست مي‌آيد كه به آن تابه« چندضابطه‌اي» مي‌گويند: يعني:
۷) اگر قانون يك رابطه چندضابطه‌اي باشد آنگاه به شرطي تابع است كه:
الف) هر ضابطه‌ به تنهايي بتواند قانون يك تابع روي دامنه آن باشد.
ب) اشتراك دامنه‌هاي دوبه‌دو ضابطه‌ها تهي باشد و يا اگر در نقطه‌اي اشتراك داشتند مقدار تابع در هر دو ضابطه برابر باشد يعني:
f(x) ضابطه يك تابع است به شرطي كه:
الف) روي و روي و … روي ضابطه
ب)
يا
مثال: آيا رابطه زير تابع است؟ چرا؟