مختصــات قطبــي

تعريف
مبداء O و يك نيم خط مانند OL را درنظر مي‌گيريم و آن را محور قطبي و نقطه O را مبداء يا قطب مي‌ناميم. اين صفحه را، صفحه قطبي مي‌ناميم.

به فرض P نقطه‌اي در صفحه قطبي باشد. فاصله جهت‌دار O از P را با r نشان مي‌دهيم كه r يك عدد حقيقي است، r را شعاع قطبي مي‌ناميم و O زاويه جهت‌دار از OL تا OP مي‌باشد كه اگر نيم‌خط OL نسبت به OP در جهت خلاف عقربه‌هاي ساعت دوران كند، آن را جهت مثبت (جهت مثلثاتي) و در خلاف آن جهت منفي ناميده مي‌شود. در اين صورت نظير نقطه P زوج مرتب (r, G) وجود دارد كه آن را مختصات قطبي نقطه P مي‌نامند و مي‌نويسند P(r, G).

واضح است كه زوج‌هاي (r, 2nπθ), (r, G) يك نقطه را در صفحه قطبي مشخص مي‌كنند. واضح است كه يك نقطه در مختصات قطبي بي‌نهايت نمايش دارد و زاويه متناظر با يك نقطه مفروض يكتا نيست.
P(r, G) = (r, 2nπθ)

نكته: براي مشخص كردن نقطه متناظر با زوج (r, G)، ابتدا زاويه θ را مشخص مي‌كنيم و از O نيم‌خطي رسم مي‌كنيم. اگر r>0، آنگاه در امتداد اين نيم‌خط از O به اندازه‌ جدا مي‌كنيم، ولي اگر r<0، آنگاه در امتداد اين نيم خط از O به اندازه |r| جدا مي‌كنيم.

مثال: نقاط را مشخص كنيد.

نكته: نقاط بر هم منطبقند.

تمرين: نقاط زبر را در صفحه قطبي مشخص كنيد.

مثال: نقاط را درنظر بگيريد. جاي نقطه را در صفحه مشخص كنيد و سپس همه مخصتات قطبي اين نقاط را مشخص كنيد.

 

Shekl——————

رابطه بين مختصات قطبي و دكارتي
به فرض (r, θ) مختصات نقطه P در صفحه قطبي و (x,y) مختصات P در صفحه دكارتي باشد. با توجه به شكل داريم:

مثال: مختصات دكارتي نقطه را مشخص كنيد.

مثال: مختصات قطبي نقطه را بيابيد.
حل. نقطه P در ناحيه دوم قرار دارد. بنابراين:

نكته:‌ روش ديگر براي مشخص كردن مختصات قطبي :

الف) اگر x>0 آنگاه
ب) اگر x<0 آنگاه
مثال: مختصات قطبي را مشخص كنيد.
حل.

مثال: مختصات قطبي نقطه M(-1,1) را مشخص كنيد.

مثال: مختصات قطبي نقطه M(1,-1) را بيابيد.

تمرين: مختصات قائم نقاط را مشخص كنيد.
تمرين: تمام نمايش‌هاي نقطه‌هاي زير را در مختصات قطبي نشان دهيد.

تمرين: معادلات زير را به صورت قطبي بنويسيد.

r=0 روي r=sinθ قرار دارد. بنابراين معادله قطبي برابر است با:

چون r=0 همان قطب است كه روي نمودار r2=cos2θ قرار دارد، بنابراين معادله قطبي به صورت r2=cos2θ است.

تمرين: معادلات قطبي را به صورت دكارتي بنوبسيد.

نمودار معادلات قطبي
منظور از نمودار معادله قطبي يا مجموعه مختصات قطبي يعني مجموعه تمام نقاط با حداقل يك جفت مختصات كه در معادله صدق مي‌كند.
رسم نمودار در مختصات قطبي
اگر يا معادله قطبي يك منحني باشد، براي رسم آن چنين عمل مي‌كنيم.
۱٫ بررسي تقارن‌هاي منحني
۲٫ بررسي اينكه منحني از قطب مي‌گذرد يا نه؟ (r=0)
3. اگر منحني از قطب مي‌گذرد معادلات خطوط‌هاي بر منحني در قطب را مشخص مي‌كنيم.
۴٫ تعيين نقاطي كه داراي ماكزيمم يا مينيمم نسبي است.
مثال: نمودار معادلات زير را رسم كنيد.

پ

 

نكته:

نمودارهاي معادلات قطبي زير را رسم كنيد.

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 0 1 1.4 1.7 2 1.7 1.4 1 0 -1 -1.4 -1.7 -2 -1.7 -1.4 -1 0

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 0 3.4 4 3.4 0 -3.4 -4 -3.4 0 3.4 4 3.4 0 -3.4 -4 -3.4 0

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 2 0 -1.4 -2 0 2 1.4 0 -2 0 1.4 2 0 -2 -1.4 0 2

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 0 0.3 0.6 1 2 3 3.4 3.7 4 3.7 3.4 3 2 1 0.6 0.3 0

 

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 4 3.7 3.4 3 2 1 0.6 0.3 0 0.3 0.3 1 2 3 3.4 3.7 4

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 2 1 0.6 0.3 0 0.3 0.6 1 2 3 3.4 3.7 4 3.7 3.4 3 2

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 2 3 3.4 3.7 4 3.7 3.4 3 2 1 0.6 0.3 0 0.3 0.6 1 2

 

به كمك تقارن مي‌توانيم نمودار معادلات قطبي را به آساني رسم نمود.

تمرين
نمودار منحني‌هاي زير را رسم كنيد.
۱٫

حل.

لذا منحني نسبت به قطب تقارن دارد.

پس محور x، محور تقارن منحني است. در نتيجه حول نسبت به قطب و محور x تقارن دارد. پس نسبت به محور yها تقارن دارد. بنابراين نمودار را در فاصله رسم مي‌كنيم و قرينه آن را نسبت به محور xها و yها بدست مي‌آوريم.
θ
r

معادله خط مماس در قطب
بيشترين مقدار آن زماني است كه ، يعني . پس و تمرين مقدار آن وقتي يعني .

۲٫

پس محور yها محور تقارن است. لذا منحني را در فاصله رسم كرده و قرينه آن را نسبت به محور yها بدست مي‌آوريم.
θ
r

 

منحني از قطب نمي‌گذرد. بيشترين مقدار r —– است كه و كمترين آن وقتي است كه

۳٫

معادله تغيير نمي‌كند. بنابراين محور yها، محور تقارن است. لذا منحني را در فاصله رسم مي‌كنيم و قرينه آنرا نسبت به محور yها پيدا مي‌كنيم.
θ
r

۴٫

با تبديل‌هاي زير معادله تغيير نمي‌كند و محور xها محور تقارن است. بالطبع نسبت به محور yها نيز تقارن دارد. پس نمودار در فاصله رسم مي‌كنيم.

θ
r

۵٫

معادله تغيير نمي‌كند. بنابراين محور قطبي محور تقارن است. نمودار را در فاصله رسم مي‌كنيم. اگر ، داريم . با درنظر گرفتن داريم: . نقطه است.