مقدمه
از دو دهه اخیر رابطه ضد و نقیض و بغرنجی میان معماری و علومی که اصطلاحاً آنها را پیچیدگی می نامند ایجاد شده است. از آنجایی که این نوع رابطه طی این مدت دچار تغییر و تحولاتی شده است، نقطه اشتراک این دو علم به صورت هندسه فراکتال ارایه شده است. لفظ فراکتال در واقع

نوعی هندسه غیراقلیدسی است که از برخی اشکال طبیعی، که در طبیعت هم بی نظیر نیستند، الهام گرفته شده است. در واقع هندسه فرکتال ایجاد اشکالی است که فرم و شکل یکسانی داشته ولی از نظر اندازه متفاوت باشند. به طور مثال می توان به فرم فلس های ماهی اشاره کرد که شبیه هم بوده ولی اندازه آنها در میان تنه بزرگ تر و در محل هایی که نزدیک سر و دم ماهی

است کوچکتر هستند. در این مقاله سعی شده تا قبل از بحث در مورد هندسه و معماری فراکتال، به نمونه هایی از معماری گذشته اشاره شود که در آنها نمودی از هندسه فرکتال وجود داشته است. البته معماران این بناها قصد ایجاد این هندسه را نداشته اند، ولی نمودی از هندسه فرکتال در کارهای آنان دیده می شود. در گذشته های دور نیز این هندسه در معماری گوتیک، باروک و معابد هندوها دیده شده است.

تاریخچه فراکتال
هندسه فرکتالي يا هندسه فرکتال ها پديده ايست که چندي پيش پا به دنياي رياضيات گذاشت. واژه فرکتال در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط رياضيدان لهستاني به نام بنوئيت مندل برات وارد

دنياي رياضيات شد .مندل برات طی نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد، عنوان نمود که جهان هستی بعدی مابین ۲۳/۱-۳۴/۱۱ دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته اند. مندل برات واژه فراکتال (fractal) را از واژه لاتین فراکتوس fractus) یا fractum) – به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته و خرد شده

باشد – انتخاب کرد تا بر ماهيت قطعه قطعه شونده كه يكي از مشخصه هاي اصلي اين فرم است ، تاکيد داشته باشد. فرهنگستان زبان هم واژه برخال را برای فراکتال و همچنين واژه برخالی را برای فراکتالی تصويب کرده است. مندل برات وقتي که بر روي تحقيقي پيرامون طول سواحل انگليس مطالعه مي نمود به اين نتيجه رسيد که هر گاه با مقياس بزرگ اين طول اندازه گرفته شو

د بيشتر از زماني است که مقياس کوچکتر باشد. برخی معتقدند که نظریه فراکتال به نظریه ای وابسته است به نام نظریه پیچیدگی که در اواخر قرن بیستم از سوی برخی فلاسفه و ریاضیدانان مطرح شد که در آن شروع پیدایش کیهان به یک نقطه مادی و سپس دوازده جهش در کیوان نسبت داده می شود که طی این جهش ها جهان از نقطه مادی اولیه به وجود آمده است. این

تئوری به نام تئوری پیچیدگی و تئوری مهبانگ و هم چنین تئوری اغتشاش مشهور شده است.
کمتر از ۱۲ ماه پس از انتشار ترجمه انگلیسی مقاله مندل بو، پیتر آیزنمن، معمار مشهور آمریکایی خانه شماره a11 خود را به نمایش گذاشت. چند هفته بعد یعنی در ژوئیه ۱۹۷۸ این بنا مرکزی

برای سمیناری در همین زمینه شد. آزینمن در این بنا سعی داشت تا مفاهیم ناپایداری و بینابینی را مطرح کند، که خود در معماری قبل از فرکتال که به معماری ساختارشکن شهرت یافت عنوان کرده بود.
برای رسیدن به این مفاهیم وی فرم را برای ساختمان در نظر گرفته بود که آن را نمادی از ناپایداری و با حالت بینابین فرض کرد چرا که این فرم نه مثلث است نه مربع. آیزنمن فرم ناپایدار را در حجم ساختمان نیز ایجاد کرد تا دو شکل در کنار هم با مقیاس های متفاوت نمودی از هندسه فرکتال

باشد. برای درک بیشتر معماری فرکتال نخست باید به تئوری های معماری که قبل از آن از سوی فلاسفه ای چون ژاک دریدا مطرح شد و توسط برخی معماران من جمله پیتر آیزنمن و فرانک گری دنبال شد بپردازیم. می توان گفت که ورود فلسفه به معماری از اوایل دهه هشتاد میلادی آغاز شد و نمود آن در معماری نشان دادن تناقض ها و زشتی ها و اشکال ناخوشایند و نیز ایجاد قرائتهای مختلف از هنر و به ویژه معماری بود. در این معماری مفاهیم ناپایداری و عدم قطعیت مطرح شد که در تقابل با پایداری و قطعیت عصر مدرن بود.

پس از این معماری، معماری دیگری از سوی همین معماران مطرح شد که در آن سیال بودن و بی شکل بودن فضایی مد نظر بود. این معماری به معماری لایه ای مشهور شد که هدف از آن خلق فضا ها و احجامی بود که توانایی سازگاری با محیط و تغییر شکل را داشتند. فرم آنها از فرم اشکال ناپایدار چون ژلاتین الهام گرفته شد که با هر نوع قالبی قابل انطباق باشد. و در نتیجه مفاهیمی

چون فرمهای ضعیف مطرح شد. فرم ساختمان در این معماری بیشتر سیال و قوسی و یا موجی شکل بود و به هیچ وجه طرح شکسته و خشن در آنها دیده نمی شود. این فرم به دلیل از بین رفتن سلسله مراتب، پایداری و قطعیت در فلسفه به وجود آمد و هدف آن ایجاد فضاها و احجام نرم و انعطاف پذیر هم ارزش سیال بود.

معماری بعدی نیز توسط معماران قبلی معرفی شد. به دلیل تاثیر علم و فلسفه روز بر معماری، معماران این سبک ها خود عامل تغییر سبک و سیاق معماری بودند و در نتیجه در اواخر سال ۱۹۵۵ میلادی معماری دیگری از شوی آیزنمن مطرح شد که به معماری پرش کیهانی مشهور گشت که این معماری ناشی از نظریه فیلسوف و معمار انگلیسی چارلز جنکس در کتاب مشهور خود با عنوان معماری پرش کیهانی بود.
در این کتاب جنکس، پیدایش جهان را بر طبق نظریات جدید فیزیکدانان ناشی از تئوری مهبانگ معرفی می کند و اظهار می دارد که رشد جهان از نقطه مادی اولیه به صورت غیرخطی بوده و

ناشی از ۱۲ پرش یا جهش بوده که در طی ۱۵ میلیارد سال اتفاق افتاده است. وی مطرح می کند که جهان قابلیت خودسازماندهی دارد و می تواند جریانات و حوادث خود را سازماندهی کند. همچنین وی اظهار می دارد: به دلیل وجود جهش در رشد جهان، پیشامدهای جهان قابل پیش

بینی نبوده بلکه تصادفی و اتفاقی است و پس از هر جهش شکل و اندازه جهان به هیچ وجه مشابه حالت قبلی نبوده بلکه تصادفی و اتفاقی است. برای اثبات این مدعا، وی دگردیسی پروانه را مثال می زند که حالت کرم با حالت پروانه کوچکترین شباهتی نداشته و پیش از خروج پروانه از پیله نمی توان شکل آنرا حدس زد. شاخه ای از این معماری به معماری فرکتال شهرت یافت که در

این معماری نیز همان طور که ذکر شد از اشکل طبیعی چون ابر، شاخه درخت و فلسهای ماهی الهام گرفته شد و اشکال سیال با فرمهای مشابه و اندازه های متفاوت (ملهم از فلس ماهی و ابر) و نیز اشکال شکسته الهام گرفته شده از سنگ خرد شده و شاخه درختان به وجود آمد.
معمار دیگری که به معماری فرکتال پرداخت، فرانک گری بود که بهترین نمونه کار وی در زمینه

معماری فرکتال موزه جدید گوگنهایم در شهر بیلبائو اسپانیاست. حجم این موزه تماماً از اشکال و سطوح مواج ساخته شده که به صورت لایه هایی بر روی هم قرار گرفته اند و جنس نما از ورق تیتانیوم بوده که باعث درخشندگی و شفافیت خاصی شده است. فرانک گری خود اظهار می دارد که شکل ساختمان را از باله های نهنگ الهام گرفته است.
از اوایل ۱۹۸۸ رفته رفته انتقاداتی در خصوص نگرش نظریه اغتشاش و هندسه فرکتال از سوی میشل سورکین، منتقد معماری، مطرح شد. کمتر از دو سال بعد از این تاریخ یعنی در ۱۹۹۰ آرون بتسکی، ساختمان بیوسنتز کار آیزنمن در دانشگاه گوته فرانکفورت را که در قالب هندسه معمولی ساخته شده بود، مورد انتقاد قرار داد. به نظر وی، آیزنمن، با وجود اطلاع از دو علم مجزا یعنی هندسه اقلیدسی و فرکتال، هندسه اقلیدسی را بارها به هندسه فرکتـــــال آلوده و آن را بیمار کرده است. لذا این نوع برخورد را آلوده سازی یا بیمارسازی و نقش هندسه فرکتالی که آیزنمن به کار گرفته بود ویروس یا عامل بیماری زا دانست.

باید اذعان داشت که هندسه و معماری فرکتال از گذشته وجود داشته به طوری که برخی اشکال مواج در کلیساهای باروک، برخی تزئینات متحد الشکل و متشابه در معماری گوتیک نمودهایی از این هندسه بوده اند. اما در نتیجه معرفی مستقیم این هندسه از سوی مندل برو، عده ای آنرا

پذیرفته و به کار بردند ولی عده ای با آن مخالفت ورزیده اند.
قضاوت این مطلب که نظر کدامیک صحیح تر است دشوار و در اصل غیرممکن است؛ چرا که هرگاه از سوی صاحبنظران تئوریی مطرح شده، همواره و همیشه موافقان و مخالفانی داشته است. این بحث که نظر ریاضیدانان و فلاسفه تا چه حد در معماری می تواند دخیل باشد بستگی به نظر افراد خواهد داشت. اما آنچه کاملا قطعی است هندسه فرکتال در واقع نوعی هندسه غیر اقلیدسی است که از برخی اشکال موجود در طبیعت الهام گرفته شده است. در واقع هندسه فرکتال ایجاد اشکالی است که فرم و شکل یکسان داشته باشند ولی از نظر اندازه متفاوت هستند.
قطعی است که همواره نوعی از معماری موفق بوده که بتواند استفاده کنندگان را وادار به تحسین نموده و آنان را خشنود و آسوده کند. بنابراین استفاده صرف از فلسفه و عدم توجه به مفاهیم زیباشناسی نمی تواند تمامی موضوع باشد.

فرکتال (برخال)چیست؟
فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و

پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتدو نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و

نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .
فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است . اما با این حال می توان آن را به وسیله ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است . فراکتال ها شکل هایی مستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.

 

ما فرکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها ، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین ، ساحل دريا و … .

فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از ” کل ” تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به عنوان یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. هندسه فراکتالی حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و یا

ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد ! اما راستش را بخواهید فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش.
واژه فرکتال از ریشه ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد. به زبان ساده، اشکال فرکتالی دارای ۳ خاصیت عمومی هستند.
خواص فرکتال ها
• تشابه به خود • تشکیل از راه تکرار • بعد کسری

تشابه به خود( self similarity)
گربه‌ها ، قناری‌ها و کانگوروها به هم شبیه هستند اگر به نحوی بتوانیم شباهتی بین آنها پیدا کنیم. اما در هندسه تشابه معنای خاصی دارد . مفهوم تشابه ، یکسانی اشکال در عین متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانید با بزرگ یا کوچک کردن دو تصویر آنها را درست مثل هم کنید، آن دو متشابه اند. اما تصویر های خود متشابه کدام‌ها هستند؟
اشکال زیادی وجود دارند که فراکتالی نیستند اما خود متشابه اند. به این تصویر دقت کنید!

تصویر کلی آن یک ذوزنقه است و خودش از ذوزنقه های کوچکتر کنار هم پدید آمده است. این یک مثال از تشابه به خود است.
حالا به این مثلث خاص نگاه کنید.

این مثلث بزرگ که نامش مثلث سرپینسکی است از مثلثهای مشابه کوچکتر درست شده است که همین طور کوچکتر و کوچکتر هم می‌شوند.
ببینید چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟
چند سؤال:

اگر این تصویر قرمز را تصویر پایه در نظر بگیریم ، در تصویر آبی چند نمونه از آن وجود دارد؟
آیا مربع‌ها خود متشابه اند ؟ یعنی می‌توان با مربعهای کوچکتر ، مربع بزرگی ساخت. شش ضلعی‌ها چطور؟
آیا همه دایره‌ها متشابه اند ؟ آیا خود متشابه هم هستند؟
تشکیل از راه تکرار( Iterative formation)
مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک تصویر معمولی هندسی ( مثلاً یک خط) را برداریم و با آن یک تصویر پیچیده تر بسازیم. بعد با آن تصویر به دست آمده تصویر پیچیده تری بسازیم ، و همین طور به این کار ادامه دهیم اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی بر ایجاد آن ها نوشته شده است. هر کدام از آنها هم اسم و رسمی برای خود دارند مثلاً مثلث سرپينسکی که قبلاً دیدید یا :
• برف دانه کخ • مجموعه های جولیا

 

ابعاد کسری(fractional dimension)
همانطور که می‌دانید ، یک نقطه بعد ندارد. یک خط ، تصویری یک بعدی است. یک صفحه، دو بعد دارد و در آخر تصویر های حجیم ، سه بعد دارند. بعد نقطه ۰ است بعد خط ۱ و بعد صفحه ۲ و یک حجم ۳، اما اگر یک خط شکسته داشته باشیم این بعد چند است ؟ ( چیزی میان یک و دو ) در اینجا این عدد می تواند میزان پیچیده بودن آن خط را نشان دهد . بعد چند نقطه کنار هم چیزی میان ۱ و ۲ تعریف می شود . ادعای بزرگان هندسه فرکتالی اینست که بعد کوهها هم همواره نه دو و نه سه است( یعنی چیزی میان یک صفحه و یک حجم کامل است ) رودخانه را می توان مانند خطی پیچیده دانست و تقریبا تمامی الگوهای طبیعی از هندسه فرکتالی پیروی می کنند تا اقلیدسیی.

اما فرکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند ! مثلاً ۶/۱ یا ۲/۲ . چطور چنین چیزی امکان دارد؟
اگر یک پاره خط را نصف کنیم چه پیش می‌آید؟
حالا دو خط داریم که درست مثل هم هستند.
اگر هر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چطور؟ حالا چهار مربع هم اندازه داریم.

با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب به هشت مکعب کوچکتر مي رسيم.

به جدول زیر دقت کنید :
تصویر بعد تعداد اشکال متشابه حاصله
پاره خط ۱ ۲۱=۲
مربع ۲ ۲۲=۴
مکعب ۳ ۲۳=۸

چه الگویی وجود دارد ؟ به نظر می‌رسد که بعد ، همان ” توان ” است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصله باید ۲ را به توان بعد آن تصویر برسانیم. سپس می‌توانیم یک خط دیگر به این جدول اضافه کنیم:
هر تصویر خود متشابه

دوباره به مثلث آشنای خودمان نگاه کنید.

اگر هر ضلع را نصف کنیم چند مثلث درست می‌شود؟ به خاطر داشته باشید که مثلثهای
سفید جزو مثلث سرپينسکی نیستند. با نصف کردن هر ضلع به سه مثلث می‌رسیم یعنی :
۳ عددی است بین ۲۱ و۲۲ . کسانی که لگاریتم بدانند ، به راحتی این مسأله را حل می‌کنند. خب می‌بینید که این عدد ۵۸۴۹ . ۱ یک عدد کاملاً کسری است !
فراکتال های موجود در طبیعت
هندسه ی اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .
ساده ترين مثال براي يك شيئ خود متشابه در طبيعت گل كلم است . هر قطعهي كوچك گل كلم متشابه قطعه بزرگي از آن است .

همين طور درخت كاج يك شيئ خود متشابه است ،چرا كه هر يك از شاخه هاي آن خيلي شبيه يك درخت كاج است ولي در مقياس بسيار كوچكتر .همچنين در مورد برگ سرخس نيز چنين خاصيتي وجود دارد.
رشته كوه ها ، پشته هاي ابر ، مسير رودخانه ها و خطوط ساحلي نيز همگي مثالهايي از يك ساختمان خود متشابه هستند.
با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست. این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توان

ند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.
وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال

هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.
مفاهیم کلی فراکتال ها
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد. اگر بخواهيم از ديد كلي به بحث فركتال نگاه كنيم آن را مي توان به ۳ دسته تقسيم بندي كرد :
۱- هندسه فركتال : در اين قسمت از ديد رياضي به فركتال نگاه مي شود كه بيشتر مورد توجه رياضي دان ها قرار گرفته است. تا با عناصر اصلي فركتال و چگونگي ايجاد اين فرم آشنا نشويم نمي توان فرم هاي مختلف و حجم هاي مختلف را شناسايي كرد. در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.
۲- فرم فركتال : با توجه به اينكه ،محصول هندسه فركتال فرمي است كه دقيقاً مشخصه هاي هندسي مربوطه را دارد . در اين بخش فرم هايي همچون فرم هاي درخت ، فرم هاي مندل برت ، فرمهاي موجود در طبيعت ، ايجاد فرم هاي رندوم (Random fractal) ، خود متشابهي (self similarity) ، فركتال در نقاشي ( آثار نقاشاني چون جكسون پالاك ) و … مورد بررسي قرار خواهد گرفت .

۳- حجم فركتال ( فركتال در معماري): نتيجه فرم هاي مختلف مي تواند به يك اثر معماري منتج شود لذا در اين بخش حجم هاي فركتالي و آثار معماري مطرح مي شود .
اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه با كمي دقت به اطراف خود، مي توان

بسياري از اين اشكال را يافت. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و حتي مي توان از اين هم فراتر رفت : سطح كره ماه ، منظومه شمسي و ستارگان .
۱- فركتال از منظر هندسي
از ديد هندسي به شيئي فراکتال می گويند که داراي سه ويژگي زير باشد:
۱- اول اينکه داراي خاصيت خود متشابهي يا به تعبير ديگر self-similar باشد.
۲- در مقياس خرد بسيار پيچيده باشد.
۳- بعد آن يك عدد صحيح نباشد. . ( مثلا ۱٫۵ )
۴- تعادل
براي درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسي ، نمونه اي كه شايد تا كنون با آن برخورد كرده باشيد مطرح شود :

تصوير بالا ( يك كبوتر ) يك فرم هندسي است كه دقيقاً با تعاريفي كه در تعريف فركتال بيان شد، منطبق است . يعني داراي خاصيت خود متشابهي و پيچيدگي در مقياس خرد و نيز عدم داشتن بعد صحيح می باشد . تصوير بالا داراي بعدي بين عدد ۲ و ۳ است.
حال به بررسي هر يك در زير می پردازیم :
خاصيت خود متشابهي Self _ Similarity) )
شيئي را داراي خاصيت خود متشابهي مي گوييم، هر گاه قسمت هايي از آن با يك مقياس معلوم ، يك نمونه از كل شيئي باشد. جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.

طبیعت از درختان تا کهکشانها ، خود را همچون جریانی از اشکال خود شبیه به نمایش می گذارد . از این رو خود شبیه بودن را در اشیای طراحی شده توسط ما به واسطه تکامل تدریجی حواس از جریان خود شبیه طبیعت نشان می دهد . در ریاضی اصطلاحاتی مثل خود شبیه بودن دارای معانی خاص هستند . اگر ساختار دچار دگرگونی شود و کل ساختار با یک مقیاس دچار تغییر

شود ، آنگاه خود شبیه است . شکل جدید ممکن است کوچکتر ، بزرگتر ، دوران یافته یا تبدیل شده باشد اما همچنان شبیه شکل قبل باقی بماند
در تصوير سمت راست بزرگ شده دايره تصوير سمت چپ ديده مي شود .

پيچيدگي در مقياس خرد
در عين پيچيدگي كه فرم هاي فركتال در مقیاس کوچک دارند نبايد فراموش كرد كه فركتال يك هندسه است.و از انجام محاسبات هندسي بدست مي آيد .