مقدمه‌اي از معادلات ديفرانسيل معمولي

يك معادله ديفرانسيل معمولي هست رابطه‌اي بين يك تابع و مشتقل هاي آن و متغيرهاي مستقل كه به آنها بستگي دارند، فرم كلي از يك معادله ديفرانسيل معمولي عبارتست از (۶٫۱) وقتي كه تا مشتق مرتبه m ام تابع y موجود باشد، همچنين y و مشتقاتش تابعي از متغير مستقل t خواهند بود، مرتبه يك معادله ديفرانسيل عبارتست از مرتبه بزرگترين مشتق موجود در آن، و درجه يك معادله ديفرانسيل عبارتست از درجه مشتق از مرتبه بالا كه با ديگر مشتقات رابطه دارد.

اگر بين تابع متغير y(t) با خودش و يا هر يك از مشتقاتش نتوان رابطه‌ي دقيق را بدست آورد. معادله به يك معادله خطي تبديل مي شود، فرم كلي يك معادله ديفرانسيل خطي از مرتبه m عبارتست از (۶٫۲) كه هر كدام از ها توابع شناخته شده اي هستند:
اگر معادله ديفرانسيل غير خطي (۶٫۱) از مرتبه m را بتوان به فرم (۶٫۳) درآورد آن گاه معادله

(۶٫۳) ناميده مي‌شود يك تابع اوليه از معادله ديفرانسيل (۶٫۱) . به اين فرم كه بالاترين مرتبه مشتق عبارتست از رابطه‌اي بين مشتقات از مرتبه پايين‌تر و متغيرهاي مستقل.
«مسائل مقدار اوليه»
يك راه حل عمومي براي يك معادل ديفرانسيل عادي مانند (۶٫۱) هست يك رابطه‌اي بين y و t و m مقادير دلخواه ثابت، كه معادله را مورد قبول قرار مي‌دهند در حالي كه محتوي مشتقات نمي شود. اين راه حل شايد يك رابطه ضمني به فرم (۶٫۴) يا يك تابع صريح برحسب t به فرم (۶٫۵) باشد.
اين m مقادير دلخواه ثابت مي تواند تعيين شود بوسيله شرايط m گانه به فرم (۶٫۶)
در ابتدا ناميده مي شود شرايط اوليه؛ نقطه ناميده مي شود نقطه اوليه. معادله ديفرانسيل (۶٫۱) به همراه شرايط اوليه موجود در (۶٫۶) ناميده مي شود يك مسأله مقدار اوليه.
اگر اين m شرايط تعيين شده باشند بوسيله بيشتر از يك نقطه كه تعيين كرده‌اند m مقادير ثابت دلخواه در راه حل عمومي (۶٫۴) در اين صورت ناميده مي شود شرايط مرزي (كراني)، معادله ديفرانسيل (۶٫۱) به همراه شرايط مرزي شناخته شده است به عنوان يك مسأله مقدار مرزي.
يك معادله ديفرانسيل (۶٫۳) با شرايط اوليه (۶٫۶) شايد نوشته شود به عنوان يك سيستم معادل (هم ارز) از يك معادله ديفرانسيل مقادير اوليه به فرم زير:

كه در نشانه گذاري (نمادسازي) برداري شده اند.

كه و
بنابراين، روش هاي حل مسأله مقدار اوليه ابتدايي (۶٫۸) و شايد كاربرد داشته باشد در حل مسائل مقدار اوليه (۶٫ و مسأله مقدار اوليه (۶٫۳) .

مثال (۶٫۱) : تبديل كنيد مسأله مقدار اوليه مرتبه دوم زير را به مسائل مقدار اوليه مرتبه او

ل (؟)
؛
حل. قرار مي دهيم:

بنابراين: و . و
و
و
و و
و و
مثال (۶٫۲) تبديل كنيد سيستم زير را از دو معادله مرتبه ۳ به يك سيستم با شش معادله مرتبه ۱ .
؛
؛
حل. جانشين هاي زير را پديد مي آوريم:

قضيه وجود و يگانگي:
وجود و يگانگي جواب مسأله مقدار اوليه (۶٫۸) بوسيله قضيه‌ي زير تضمين مي شود:
قضيه (۶٫۱) : تابع f(t,u) تحت شرايط زير را در نظر مي گيريم:
(i) f(t,u) يك تابع حقيقي است؛
(ii) براي هر و ؛ تابع f(t,u) پيوسته و تعريف شده است؛
(iii) براي هر و هر : به طوري كه L ثابت ليپ شينز ناميده مي شود.
در اين صورت براي هر ، مسأله مقدار اوليه (۶٫۸) جواب منحصر به فرد براي را دارد.
سيستم هاي معادلات ديفرانسيل خطي مرتبه اول با ضرايب

 

ثابت
يك سيستم خطي مرتبه اول با ضرايب ثابت به فرم زير را در نظر مي‌گيريم.
(۶٫۱۸)
به طوري كه ؛ يك ماتريس مربعي ثابت بوده و b(t) يك بردار m بعدي مي باشد، راه حل كلي (۶٫۱۸) مي تواند به فرم زير نوشته شود:
(۶٫۱۹)
به طوري كه ماتريس A با مقادير ويژه و بردارهاي ويژه متناظر با آنها مي باشد. تابع يك جواب خصوصي معادله (۶٫۱۸) مي باشد.
معادله ماتريسي (۶٫۱۸) مي تواند با به كار بردن تبديلات مشابه ناهمبسته شود.
اگر ماتريس متناظر بردارهاي ويژه باشد، قرار دهيد سپس:
(۶٫۲۰)
با ضرب ماتريس معكوس بدست مي آوريم:

(۶٫۲۱)
به طوري كه و هست يك ماتريس قطري با عناصر روي قطر .
معادله (۶٫۲۱) يك سيستم نزولي براي جواب هاي بدست مي‌دهد.
جواب (۶٫۲۱) به فرم زير است:

قضيه (۶٫۲) (پايستگي). جواب دستگاه (۶٫۱۸) با b(t)=0 به صورت ثابت خوانده مي شود. هر گاه اگر و فقط اگر تمام مقادير ويژه ماتريس A داراي بخش حقيقي منفي باشند.
مثال (۶٫۳) . جواب سيستم معادلات زير را پيدا كنيد به طوري كه و .
حل. جواب اين دستگاه معادلات مي تواند بوسيله پيدا كردن مقادير ويژه و بردارهاي ويژه ماتريس A بدست آيد:
معادله مشخصه A عبارتست از:

لذا مقادير ويژه عبارتست از .
براي ، داريم:
بردار ويژه متناظر عبارتست از .
براي ، داريم:
بردار ويژه متناظر عبارتست از
از اينرو جواب سيستم عبارتست از:

پس از تركيب، مي توان جواب را به فرم زير نوشت:

روش هاي عددي: (Numerical Methods)
پيش از مبادرت به حل يك مسأله مقدار اوليه مي خواهيم بدانيم آيا جوابي وجود دارد و اگر چنين است، جواب منحصر به فرد است، به علاوه مايليم بدانيم آيا تغييرات كوچكي در صورت مسأله موجب تغييرات كوچكي در جواب مي شوند، براي بحث در اين مسائل به چند تعريف و نتايجي از نظريه معادلات ديفرانسيل معمولي نياز داريم.
تعريف (۱) : گوييم تابع f (t,y) با متغير y بر مجموعه در شرط ليپ بيشتر صدق مي كند در صورتيكه يك ثابت مانند با اين خاصيت موجود باشد كه هر وقت آن گاه:

ثابت يك ثابت ليپ بيشتر براي t گوييم.
تعريف (۲) : گوييم مجموعه محدب است اگر هر وقت و متعلق به D باشند، نقطه نيز به ازاي هر ، متعلق به D باشد.
قضيه (۱) : فرض كنيم f(t,y) بر يك مجموعه محدب تعريف شده باشد، اگر ثابتي چون موجود باشد كه به ازاي هر ، آن گاه f نسبت به متغير y بر D در شرط ليپ شيتز با ثابت L صدق مي كند.
قضيه (۲) : فرض كنيم و f(t,y) بر D پيوسته باشد. هرگاه f نسبت به متغير y بر D در شرط ليپ شيتز صدق كند آن گاه مسئله مقدار اوليه ؛ ؛ داراي جواب منحصر به فرد y(t) ، به ازاي ، است.
تعريف (۳) : گوييم مسأله مقدار اوليه ؛ ؛ يك مسأله خوش وضع است اگر:
الف: يك جواب منحصر به فرد، مثلاً y(t) ، براي اين مسأله موجود باشد؛
ب: عددي مانند با اين خاصيت باشد كه جواب منحصر به فرد z(t) براي مسأله
؛ ؛
هرگاه و به ازاي هر ، موجود باشد.
ج: ثابتي مانند k>0 با اين خاصيت باشد كه:

 

قضيه (۳) : فرض كنيم ، مسأله مقدار اوليه ؛ ؛
خوض وضع است اگر f پيوسته و نسبت به متغير y بر مجموعه D در شرط ليپ شينز صدق كند.
روش اويلر (Euler Method)
هدف اين روش تعيين تقريبي براي مسأله مقدار اوليه خوش وضع
(۱) ؛ ؛
است، در عمل يك تقريب پيوسته به جواب y(t) بدست نمي

آيد؛ در عوض، تقريب هايي به y در نقاط متعدد بازه [a,b] ، به نام نقاط شبكه اي، پديد مي‌آيند. وقتي جواب تقريبي در اين نقاط بدست آمد، جواب تقريبي در ساير نقاط بازه با استفاده از درون يابي حاصل مي شود.
توزيع نقاط شبكه اي در طول بازه [a,b] به طور يكسان خواهد بود، اين شرط با انتخاب عدد صحيح مثبت N و نقاط ، كه در آن ؛ و .
براي رسيدن به روش اويلر، از قضيه تيلور استفاده مي كنيم؛
فرض كنيم y(t) ، يعني جواب منحصر به فرد معادله (۱) ، دو مشتق پيوسته بر [a,b] داشته باشد به طوري كه به ازاي هر ، مي توان را به فرم
(۲)
به ازاي نقطه اي مانند ، نوشت:
با استفاده از نماد ، نتيجه مي شود كه عدد ، ، وجود دارد به طوري كه:
(۳)
و چون y(t) در معادله ديفرانسيل (۱) صدق مي كند داريم:

با دوباره نويسي اين معادله، به ازاي هر داريم:

وقتي h به قدر كافي كوچك باشد، بنابر پيوستگي ، جمله
نيز كوچك بوده و
(۵)
در روش اويلر از اين فرض با تعريف
(۶)
و فرض ، به ازاي هر استفاده مي شود.
مثال (۱) : با استفاده از روش اويلر با h = 0.1 مسأله مقدار اوليه زير را حل كنيد.

حل. با در نظر گرفتن h=0.1 ، بازه [۰,۱] را به N = 10 زير بازه تقسيم مي‌كنيم به طوري كه
داريم:

۱٫۱۳۱۴۴۱ ۰٫۶ ۱٫۰۰۰۰۰۰ ۰
۱۷۸۲۹۷ ۰٫۷ ۱٫۰۰۰۰۰۰ ۰٫۱
۱٫۲۳۰۴۶۷ ۰٫۸ ۱٫۰۱۰۰۰۰ ۰٫۲
۱٫۲۸۷۴۲۰ ۰٫۹ ۱٫۰۲۹۰۰۰ ۰٫۳
۱٫۳۴۸۶۷۸ ۱٫۰ ۱٫۵۶۱۰۰ ۰٫۴
۱٫۹۰۴۹۰ ۰٫۵

قضيه : فرض كنيم y(t) جواب منحصر به فرد مسئله مقدار اوليه

خوش وضع (۱) بوده و تقريب هاي توليد شده به وسيله روش اويلر باشد، هر گاه f بر در شرط ليپ شيتز با ثابت L صدق كرده و ثابت M با اين خاصيت كه به ازاي هر و موجود باشد، آن گاه به ازاي هر
(۷)
مثال (۲) : كران خطاي حاصل از روش اويلر در حل تقريبي مسأله مفروض در مثال (۱) را محاسبه كنيد.
حل. و داريم لذا بنابر قضيه ۳ f در شرط ليپ بيشتر با L=1 صدق مي كند، از طرفي جواب دقيق معادله ديفرانسيل مذكور در مثال (۱) عبارتست از ؛ داريم:
و و با استفاده از معادله (۷) داريم:
، و .
روش هاي تيلور از مرتبه‌ي بالاتر
چون روش اويلر با استفاده از قضيه تيلور با n=2 براي تقريب جواب اين معادله ديفرانسيل بدست مي آيد، اولين سعي ما تعميم اين روش به مقادير بزرگتر n مي باشد.
فرض كنيم y(t) يك جواب از مسأله مقدار اوليه
بوده و داراي (n+1) مشتق پيوسته باشد و جواب y(t) را برحسب چند جمله اي تيلور درجه n ام آن حول بسط داده، بدست مي آوريم كه به ازاي كه
(۸)
با مشتق گيري متوالي از y(t) داريم:

بهمين ترتيب

و در حالت كلي داريم

با جايگذاري نتايج فوق در معاددله (۸) داريم به ازاي كه،
(۹)

روش تفاضلي متناظر با معادله (۹) با صرف نظر كردن از جمله باقي مانده شامل بدست مي آيد و روش تيلور مرتبه n ناميده مي شود.
(۱۰)
به طوري كه
لذا نتيجه مي گيريم كه با تعريف فوق روش اويلر همان روش تيلور مرتبه اول است.
مثال (۳): با استفاده از روش هاي تيلور مرتبه هاي دو و چهار مسأله مقدار اوليه زير را تقريب بزنيد؟

حل: بايد سه مشتق اول را بدست آوريم:

لذا داريم:

بنابراين روش هاي تيلور مرتبه دو و چهار به ترتيب عبارتست از:

با در نظر گرفتن h = 0.1 و داريم:

روش هاي رونگ – كوتا. (Runge-Kutta Methods)
قضيه (۵) : فرض كنيم f(t,y) و همه مشتق هاي جزئي آن از مرتبه تا بيشتر از (n+1) بر پيوسته باشد. همچنين و به ازاي هر ، نقطه اي مانند وجود دارد با خاصيت
به طوريكه:

چند جمله اي تيلور درجه n دو متغيره براي تابع f حول نقطه و خطاي برش وابسته به ناميده مي شود.
اولين وسيله حصول به روش رونگ – كوتا تعيين مقادير با اينشي موضعي روش تيلور مرتبه دو، تقريب كند.
چون

نتيجه مي شود كه:
(۱۱)
با بسط به چند جمله اي تيلور خود از درجه يك حول (t,y) داريم:
(۱۲)

(۱۳)
از مقايسه معادلات (۱۱) و (۱۲) داريم:

لذا داريم:
از معادله (۱۳) داريم:

اگر تمام مشتق هاي جزئي مرتبه دوم f كراندار باشند،
برابر يعني مرتبه خطاي برشي موضعي روش تيلور مرتبه دو، خواهد بود.
روش تفاضلي حاصل از جايگذاري در روش تيلور مرتبه دو روش خاص از رونگ – كوتا است، كه به روش نقطه مياني موسوم است و به صورت زير ارائه مي شود.
روش نقطه مياني:
(۱۴)
چون فقط سه پارامتر در حضور داشته و همگي در رسيدن به مورد نياز بودند، انتظار لزوم برقراري شكل پيچيده تري در برقراري شرايط لازم براي هر روش تيلور درجه بالاتر را بايد داشت. در واقع، مناسب ترين شكل، با چهار پارامتر براي تقريب

عبارتست از:
(۱۵)
و حتي با عبارت فوق، امكان رسيدن به جمله كم است، در نتيجه بهترين روشي كه مي توان با استفاده از معادله (۱۵) بدست آورد روش هايي باكران خطاي است اگرچه (۱۵) داراي چهار پارامتر است ولي انعطافي در انتخاب آنها وجود دارد به طوري كه تعدادي از روش‌هاي حاصل مي شوند، يكي از مهمترين اين روش ها عبارتست از روش پيراسته‌ي اويلر، كه متناظر با انتخاب و بوده و داراي شكل معادله تفاضلي زير است:
(۱۶)
معمول ترين روش رونگ – كوتا در عمل از مرتبه‌ي چهار و داراي شكل تفاضلي زير است:
به ازاي هر i ،

اين روش داراي خطاي برشي موضعي است مشروط بر اينكه جواب y(t) داراي پنج مشتق پيوسته باشد.