هذلولی:
تعریف: مکان هندسی نقاطی از صفحه که قدر مطلق تفاضل فاصله آن نقاط از دو نقطه ثابت برابر مقداری ثابت باشد. هذلولی می نامند.
تذکر: در تعریف فوق دو نقطه ثابت را کانونهای هذلولی نامند
تذکر: مقدار ثابت که در تعریف فوق آمده است برابر ۲a می باشد.

ویژگیهای مشترک بین هذلولی افقی و قائم:
۱-خطی که دو کانون هذلولی را بهم وصل کند، محور کانونی هذلولی نامند.
۲-نقطه وسط دو کانون هذلولی را مرکز هذلولی می نامند.
۳-رئوس کانونی: محل تقاطع محور کانونی با نمودار هذلولی رئوس کانونی می نامند.
۴-محور غیرکانونی: خطی که در مرکز هذلولی بر محور کانونی عمود باشد محور غیرکانونی نامند.
۵-فاصله کانونی: فاصله دو کانون هذلولی است و با نمایش می دهند.

۶-قطر کانونی: طول قطر کانونی معین فاصله بین و را قطر کانونی نامند.
۷-در هذلولی حاصل را برابر می گیریم پس است.
۸-روی قطر کانونی از مرکز هذلولی به فاصله b دو نقطه و را انتخاب می کنیم که همان رئوس غیرکانونی هذلولی می باشند.
۹-اگر و رئوس کانونی و و رئوس غیرک

انونی و و کانونها و O مرکز هذلولی باشد آنگاه روابط زیر بین آنها همواره وجود دارد.
(الف (ب (ج

(پ (ت (ث
۱۰-در هذلولی همواره فاصله کانونی از دو قطر بزرگتر است.

هذلولی افقی
اگر محور کانونی موازی محور xها باشد هذلولی افقی است.
ویژگیهای هذلولی افقی:
۱) اگر مرکز هذلولی باشد آنگاه روابط زیر را داریم:
و و و و هم عرضند.

و و هم طولند

۲) معادله هذلولی افقی بصورت

تذکر: در معادله هذلولی افقی همواره x قبل از y در علامت (-) ظاهر می شود. پس اگر معادله هذلولی داشته باشیم و x اول ظاهر شود آن هذلولی افقی است و عدد زیر آن و عدد دیگر است.
تذکر: در هذلولی نمی توان گفت از بزرگتر است و یا بالعکس چون ممکن است با هم مساوی هم باشند.
مثال: مختصات رئوس، کانونها، فاصله کانونی – هذلولی به معادله را بدست آورید.
مثال: در هذلولی مختصات کانونها و رئوی را بیابید.
مثال: معادله هذلولی را بنویسید که رئوس و نقطه یک کانون آن باشد.
مثال: منحنی نمایش معادله کدام است؟
۱) هذلولی ۲) دو خط متقاطع

۳) دو خط موازی ۴) یک نقطه
مثال: نقاط و به طولهای ۴ و ۲- واقع بر محور xها دو راس یک هذلولی می باشند که این هذلولی از نقطه می گذرد معادله هذلولی را بنویسید.
هذلولی قائم:
تعریف: اگر محور کانونی یک هذلولی موازی محور yها باشد، آن هذلولی را هذلولی قائم نامند.
ویژگیهای هذلولی قائم:
۱) اگر مرکز هذلولی باشد آنگاه روابط زیر وجود دارد.
و و و و هم طولند.

و و هم عرضند

۲-معادله هذلولی قائم بصورت

تذکر: در معادله استاندارد هذلولی قائم y قبل از x است، پس اگر معادله استاندارد یک هذلولی داشته باشیم و y قبل از x باشد، آنگاه عدد زیر y را و عدد زیر x را می نامیم.
مثال: هذلولی های زیر را رسم کنید و تمام مختصات رئوس و کانونها و مرکز را بیابید.
(الف

مثال: معادله یک هذلولی را بنویسید که رئوس آن و فاصله کانونی آن باشد.
تعریف: پاره خطی که دو نقطه از هر شاخه را بهم وصل کند وتر هذلولی می نامیم.
تذکر: وتری که از کانون هذلولی می گذرد وتر کانونی هذلولی می نامند. و طول وتر کانونی که بر محور کانونی عمود است برابر است.
مثال: معادله نشان دهنده یک هذلولی افقی است حدود k را بدست آورید.
مثال: مکان هندسی نقطه با شرط بدست اورید.

مجانبهای هذلولی
هر هذلولی دارای دو مجانب است و برای بدست آوردن مجانبهای آن هذلولی می توانیم مراحل زیر را طی کنیم.
۱)هذلولی افقی: اگر معادله هذلولی افقی بصورت باغشد. در این صورت معادله فوق را بصورت تبدیل می کنیم.
پس خط ممان مجانبهای هذلولی افقی است.
۲) هذلولی قائم: اگر معادله هذلولی قائم بصورت باشد در این صورت معادله فوق بصورت تبدیل کنیم. پس خط ممان مجانبهای هذلولی قائم است.
نکته: محل برخورد مجانبهای هر هذلولی مرکز هذلولی تسن.
نکته: مجانبهای هذلولی اقطار مستطیلی هستند که مرکزش منطبق بر مرکز هذلولی است.
مثال: معادله هزذولی را بنویسید که خطوط و مجانبهای آن باشند و فاصله کانونی آن ۱۰ باشد و محور کانونی به موازات محور xها باشد.
مثال: معادله یکی از مجانبهای هذلولی که رئوس آن (۲- و ۲) – (۲ و ۲) باشند و از نقطه می گذرد کدام است؟
خروج از مرکز
نسبت c بر a را خروج از مرکز هذلولی می نامند و با e نمایش می دهند.
تذکر: چون در هذلولی می باشد پس می باشد.
تذکر:

مثال: خروج از مرکز هذلولی را بدست آورید.

(نکته بسیار مهم)
هر معادله بصورت در صورتیکه باشد یک معادله هذلولی یا یک معادله دو خط راست متقاطع می باشند.
برای تشخیص اینکه معادله فوق متعلق به یک هذلولی یا دو خط راست متقاطع باشند، مراحل زیر را انجام می دهیم.

۱)از تابع فوق مشتق ضمنی گرفته و مساوی صفر قرار می دهیم.

۲) اگر آنگاه هذلولی است و L اگر آنگاه دو خط راست متقاطع می باشند.
مثال: تعیین کنید کدام یک از معادلات زیر متعلق به دو خط راست یا هذلولی می باشند.
(الف

تعریف هذلولی متساوی الساقین (متساوی القطرین)
اگر در یک هذلولی a=b باشد، هذلولی متاسوی الساقین یا متساوی القطرین می نامند.
چند نکته مهم برای هذلولی متساوی الساقین:
۱-چون a=b است و پس می توان گفت در هذلولی متساوی القطرین همواره می باشد.
۲-در هذلولی متساوی الساقین همواره مجانبها بر هم عمودند.
۳-در هذلولی متساوی الساقین همواره خروج از مرکز آن برابر است.
۴-پس می توان گفت در هر هذلولی که خروج از مرکز آن باشد، آنگاه مجانبها بر هم عمودند.
مثال: هذلولی رسم کنید.
مثال: اگر خروج از مرکز هذلولی برابر باشد، k کدام است؟
زاویه بین مجانبها در هذلولی
نکته: در هر هذلولی زاویه بین دو مجانب آن بصورت می باشد.
مثال: نکته فوق را ثابت کنید.

مثال: زاویه بین مجانبهای هذلولی را بیابید.
مثال: با استفاده از فرمول فوق ثابت کنید زاویه بین مجانبها در هذلولیهای متساوی الساقین برابر است.
نکته: در هر خذلولی فاصله کانون تا خط مجانب برابر مقدار ثابت b است.
مثال: نکته فوق را ثابت کنید.
نکته: در هر هذلولی فاصله هر رأس از مجانب هذلولی برابر است.
مثال: نکته فوق را ثابت کنید.
نکته: در هذلولی همواره رابطه
مثال: نکته فوق را ثابت کنید.
نکته: در هر هذلولی اگر زاویه بین دو مجانب آن باشد و C خروج از مرکز باشد آنگاه

مثال: اگر خروج از مرکز یک هذلولی باشد، زاویه بین مجانبها چقدر است؟
نکته: اگر M و N دو نقطه روی دو شاخه هذلولی باشند، آنگاه کوتاه ترین فاصله بین M و N زماین رخ می دهد که M و N دو رأس و قرار گیرند پس Min(MN)=2a می باشد.
نکته: اگر در هذلولی ، آنگاه هذلولی به دو نیم خط تبدیل می شود.
نکته: اگر در هذلولی ، آنگاه هذلولی به دو خط موازی تبدیل می شوند.
مثال: دو نکته فوق را اثبات کنید.

مثال: اگر قطر غیرکانونی یک هذلولی برابر قطر کانونی باشد. خروج از مرکز آن هذلولی را بیابید.
مثال: در هذلولی فاصله کانونی تا خط مجانب را بدست آورید.
مثال: در مثال فوق فاصله رأس کانونی از مجانب هذلولی را بیابید.
نکته: برای بدست آوردن معادله خط مماس و قائم به یک هذلولی دونقطه ای واقع بر آن مراحل زیر را انجام می دهیم. (در نقطه )
۱-با استفاده از مشتق ضمنی شیب خط مماس و قائم را بدست می آوریم
شیب خط قائم و شیب خط مماس
۲-با استفاده از فرمولهای زیر معادلات خطوط مماس و قائم را بدست می آوریم.
خط قائم. و خط مماس

مثال: از نقطه ای به طول ۲ و عرض مثبت واقع بر هذلولی مماس و قائم بر هذلولی رسم می کنیم، معادله مماس و قائم را در آن نقطه بنویسید.
نکته: اگر نقطه M روی هذلولی نباشد باید خط فرضی را به عنوان خط مماس درنظر بگیریم و سپس آنرا مساوی خود معادله قرار می دهیم و چون خط مماس و نمودار یک نقطه محل تقاطع دارند پس باید معادله حاصل که درجه ۲ است دارای ریشه مضاعف باشد پس و مقدار m را بدست می آوریم.
مثال: شیب خط مماس بر منحنی در نقطه بدست اورید.

مثال: مجانبهای یک هذلولی منطبق بر دو قطر یک مستطیل به ابعاد ۶ و ۸ واحد است، اگر این هذلولی بر ضلع بزرگتر مستطیل مماس باشد، خورج از مرکز آن کدام است؟
مثال: نوع هذلولی و خورج از مرکز آن را بدست آورید.
مثال: هر دو کانون هذلولی به معادله برروی خط موازی محور xها است. مجموعه مقادیر a به کدام صورت است؟
مثال: بیضی بر کدام هذلولی مماس است؟
۱) ۲)
۳) ۴) هیچ کدام