هندسه ترسيمي

به نام دانندة مقدار
بخش اول: چند ترسيم
۱-روش رسم متساوي‌الاضلاع:
دايره‌اي به شعاع r ترسيم كرده دو خط عمود بر هم آن را رسم مي‌كنيم از محل تقاطع قطر و محيط دايره به اندازه‌ي شعاع r قوسي مي‌زنيم كه دايره را در دو نقطه‌ي M و N قطع كند. امتداد همان قطري كه از آن به شعاع r رسم كرده‌ايم (يعني A) رأس ديگر مثلث است.

۲-روش رسم مربع:
دايره‌اي به شعاع معلوم r و دو قطر عمود بر هم AB و CD را رسم مي‌كنيم. به شعاع r از محل تقاطع قطرها با محيط (نقاط A و B و C و D) قوسي مي‌زنيم تا همديگر را قطع‌ كنند. امتداد اين نقاط كه از مركز دايره مي‌گذرد دايره را در نقاط M و N و S و Q قطع مي‌كند كه از اتصال اين ۴ نقطه مربع پديد مي‌آيد.

۳-روش رسم ۶ضلعي و ۸ضلعي:
ابتدا دايره‌اي به شعاع r رسم كرده ۲ قطر عمود بر هم آن را رسم مي‌كنيم. عمود منصف پاره‌خط OA را رسم مي‌كنيم و سپس پرگار را به اندازه‌ي AE باز مي‌كنيم و كمانهايي به مركز D و C در طرفين اين دو نقطه رسم مي‌كنيم تا ۴ نقطه‌ي S M و N و P و Q بدست آيد. نقاط مورد نظر را به هم وصل مي‌كنيم تا ۶ضلعي مورد نظر بدست آيد.

دايره‌اي به شعاع معلوم r و دو قطر عمود بر هم AB و CD را رسم مي‌كنيم. به شعاع معلوم r از محل تقاطع قطرها با محيط مي‌زنيم تا همديگر را قطع كنند. اين نقاط كه از مركز دايره مي‌گذرند دايره را در نقطه قطع مي‌كنند. با اتصال اين نقاط به همديگر ۸ضلعي مورد نظر بدست مي‌آيد.

۴-روش رسم ۵ضلعي:
دايره به شعاع r و اقطار عمود بر هم AB و CD را رسم مي‌كنيم. عمودمنصف OC را رسم مي‌كنيم. نقطه‌ي E نقطه‌ي كمكي اول است. به شعاع AE و از نقطه‌ي E قوسي مي‌زنيم تا قطر CD را در نقطه‌اي مانند F قطع كند. F وتري از دايره‌ي ترسيم شده است.
نقطه‌ي F نقطه‌ي كمكي دوم است. به اندازه‌ي AF روي دايره‌ي موجود جدا مي‌كنيم (نقطه‌ي M) AM يكي از اضلاع ۵ ضلعي مفروض است. به اندازه‌ي AM روي محيط دايره جدا كرده نقاط بدست آمده را به هم وصل مي‌كنيم.

۵-رسم nضلعي منتظم:
دايره به شعاع r و رسم قطر AB. قطر AB را به n قسمت مساوي تقسيم مي‌كنيم. به اندازه‌ي طول AB از دو نقطه‌ي A و B قوسي مي‌زنيم. اين دو قوس همديگر را در نقاط E و F قطع مي‌كنند. از نقاط E و F، يك در ميان بر نقاط واقع بر روي قطر AB وصل مي‌كنيم و امتداد مي‌دهيم تا محيط دايره را قطع كند. به اين ترتيب دايره به n قسمت مساوي تقسيم مي‌شود.

بخش دوم: كليات
مقدمه: هندسه قسمتي از رياضيات است كه از اشكال و روابط بين آنها بحث مي‌كند و تمامي اين اشكال در ذهن ساخته مي‌شود لذا هندسه ورزشي است براي تقويت ذهن و تجسم اشكال كه ممكن است وجود خارجي داشته باشند يا نداشته باشند.
براي شروع لازم است ابتدا شكلي به نام نقطه در ذهن ساخته شود كه بدون بعد است در نتيجه چنين شكلي در طبيعت وجود نخواهد داشت ولي محل آن را مي‌توان روي صفحه‌ي كاغذ با اثر يك مداد نشان داد. اگر همچنين نقطه‌ي فرضي در فضا حركت كند مسيري را طي خواهد كرد كه داراي فقط يك بعد خواهد بود و آن را يك منحني گويند.

در يك حالت خاص اگر همچنين نقطه‌ي متحرك در مسير خود جهت حركت خود را تغيير ندهد آن مسير را خط مستقيم يا به طور ساده (خط) گويند. اگر اين خط يا به طور كلي آن منحني در فضا حركت كند يك شكل دوبعدي ايجاد مي‌گردد كه آن را يك (سطح) گويند اگر در يك حالت خاص خطي دلخواه مانند D متكي بر خط ثابتي مانند ∆ به موازات خود حركت كند سطحي ايجاد مي‌گردد كه آن را صفحه‌ي مسطح يا صفحه‌ي هندسي گويند. براي نشان دادن اين سطح فقط ۲ خط از خط متحرك و دو خط ديگر يكي ∆ و ديگري موازي با ∆ كافي خواهد بود. لذا اين صفحه را مطابق شكل (۲) به صورت متوازي‌الاضلاعي نشان داده و صفحة p مي‌ناميم. كه در يك حالت خاص ممكن است آن را به شكل مستطيل نيز رسم كرد. اگر اين سطح مسطح يا هر سطح دلخواه ديگري در فضا حركت كند يك شكل ۳ بعدي ايجاد مي‌گردد كه آن را حجم گويند.

پس بطور كلي ميتوان گفت:
-نقطه: كوچكترين جزء هندسي است كه بدون بعد بوده و از برخورد ۲ خط بوجود مي‌آيد.
-خط: مكان هندسي مجموعه‌اي از نقاط را گويند.

-فصل مشترك: فصل مشترك ۲ خط يك نقطه، ۲ صفحه يك خط و ۲ فضا يك صفحه است.

۲-انواع هندسه:
اگر تمام اشكال مورد بحث روي يك صفحه‌ي هندسي قرار بگيرند آن را هندسه‌ي (مسطحه) و اگر همه‌ي آنها روي يك صفحه واقع نباشند آن را هندسه‌ي (فضايي) مي‌نامند. نشان دادن اشكال هندسه‌ي مسطحه ساده‌تر است زيرا مي‌توان آنها را بر روي كاغذ ترسيم كرد ولي براي نشان دادن اشكال فضايي چون فضاي ۳ بعدي در اختيار نيست رسم آن مستلزم قوانيني است كه آنها را بتوان روي صفحه‌ي كاغذي ۲ بعدي نشان داد. براي اين مطلب ۲ روش متفاوت وجود دارد كه آنها را هندسه‌ي (ترسيمي) و هندسه (رقومي) مي‌گويند. در هر روش مطالب به وسيله‌ي رسم نشان

داده مي‌شود. اگر از اعداد و حروفات نيز استفاده شود، آن را هندسه‌ي تحليلي گويند.
۳-صفحه‌ي تصوير:
براي نمايش يك جسم احتياج به سطحي است مستوي كه از لحاظ هندسي طول و عرض محدود ندارد كه به آن صفحه‌ي تصوير گفته مي‌شود.
۴-تعريف تصوير:
اگر نقطه‌اي مانند M (جسم) بين ناظر و صفحه‌ي تصوير (صفحه P) قرار بگيرد و شعاع مصور از نقطه‌ي M بگذرد و صفحه‌ي P را در نقطه‌ي m قطع كند نقطه‌ي m را تصوير نقطه‌ي M و صفحه‌ي p را صفحه‌ي تصوير مي‌گويند.

۵-تصوير يك نقطه روي صفحه:

مطابق شكل (۱) صفحه‌ي هندسي P و امتداد ثابت ∆ را در نظر مي‌گيريم كه با صفحه‌ي P موازي نيست. از نقطه‌ي M موازي با ∆ رسم مي‌كنيم تا صفحه‌ي P را در نقطه‌ي َM قطع كند. َM تصوير نقطه‌ي M روي صفحه‌ي P در امتداد ∆ ناميده مي‌شود.
اگر در يك حالت خاص امتداد ∆ بر صفحه‌ي P عمود باشد از نقطه‌ي M موازي با ∆ رسم كنيم بر صفحه‌ي P عمود خواهد شد. پاي عمود يعني نقطه‌ي َM را تصوير قائم نقطه‌ي M روي صفحه‌ي P مي‌گويند. چون اين حالت كاربرد زيادي دارد مطابق شكل (Z) َM را بطور ساده‌تر تصوير نقطه‌ي M روي صفحه‌ي P و مطابق شكل (۱) َM را تصوير مايل نقطه‌ي M روي صفحه‌ي P مي‌گويند.

 

در تصوير قائم امتداد ∆ لازم نخواهد بود زيرا خطوط را عمود بر صفحه رسم كرده‌ايم در شكلهاي بالا بين M و َM تناظر يك به يك برقرار نيست زيرا با معلوم بودن M براي َM فقط يك جواب بدست مي‌آيد. چون هر خط مستقيم صفحه‌ي هندسي را فقط در يك نقطه قطع مي‌كند. ولي با معلوم بودن َM بيشمار جواب براي M مي‌توان بدست آورد زيرا هر نقطه‌ي روي خط َMM انتخاب شود تصوير آن نيز نقطه‌ي َM خواهد شد پس شرايط ديگري لازم است تا محل نقطه‌ي M مشخص شود بنابر قرارداد فاصله نقطه تا بالاي صفحه مثبت و فاصله نقاط پايين صفحه منفي انتخاب شده است. در اين صورت هر نقطه روي صفحه‌ي P با يك نقطه و عدد مشخص خواهد شد اين روش را هندسه رقومي گويند.

اگر مطابق شكل (۴) تصاوير نقطه‌ي M را روي دو صفحه‌ي P و Q داشته باشيم براي نقطه M فقط يك جواب بدست خواهد آمد. از َM عمودي بر P و از َM عمودي بر Q اخراج مي‌كنيم كه همديگر را فقط و فقط در يك نقطه يعني نقطه‌ي M قطع خواهند كرد. براي سادگي مطابق شكل (۵) اين دو صفحه را عمود بر هم در نظر گرفته و نقطه‌ي واقع در فضا را با يك حرف بزرگ مانند M نشان مي‌دهند. يكي از اين دو صفحه، صفحه‌اي افق و ديگري صفحه‌ي قائم ناميده مي‌شود. كه به ترتيب با H و V نشان داده شده.
تصاوير نقاط فضازا روي اين صفحات با حروفات كوچك اسم همان نقطه نشان داده و براي تصوير قائم پرين در نظر مي‌گيريم. فصل مشترك اين دو صفحه را با xy نشان مي‌دهند كه آن را خط زمين يا خط‌الارض مي‌گويند. اگر روي صفحه‌ي افق قرار گرفته و به صفحه‌ي قائم نگاه كنيم بايستي x در سمت چپ و y در سمت راست قرار گيرد. فاصله‌ي نقطه‌ي M از صفحه‌ي افق ارتفاع نقطه‌ي M و

فاصله‌ي آن از صفحه‌ي قائم بعد نقطه‌ي M گفته مي‌شود. اگر مطابق شكل صفحه‌اي را از ۳ نقطه‌ي M و m و َM بگذرانيم بر خط‌الارض يعني xy عمود خواهد بود و ۴ ضلعي حاصل مستطيل خواهد گرديد. در نتيجه بعد و ارتفاع هر نقطه را روي صفحة افق و قائم مي‌توان نشان داد.

مطابق شكل ۶ دو صفحه‌ي افق و قائم نشان داده‌ شده‌اند صفحه‌ي افق فضا را به دو ناحيه‌ي بالا و پايين تقسيم مي‌كند. بنا به قرارداد ارتفاع نقاط بالاي صفحه مثبت و پايين صفحه منفي خواهد بود. صفحه‌ي قائم نيز هريك از آن دو فضا را به دو ناحيه‌ي جلوي آن صفحه و پشت آن صفحه تقسيم مي‌كند. بنا به قرارداد بعد نقاط جلوي آن صفحه مثبت و بعد نقاط پشت آن صفحه منفي خواهد

بود. به طور كلي:
-نقاط واقع در ناحيه‌ي اول كه با (I) نشان داده شده است داراي بعد و ارتفاع مثبت خواهند بود مانند نقطه‌ي A.
-نقاط واقع در ناحيه‌ي دوم كه با (II) نشان داده شده است داراي ارتفاع مثبت و بعد منفي خواهد بود مانند نقطه‌ي C.

-نقاط واقع بر ناحيه‌ي سوم كه با (III) نشان داده شده است داراي بعد و ارتفاع منفي خواهد بود مانند نقطه‌ي D.
-نقاط واقع بر ناحيه‌ي چهارم كه با (IV) نشان داده شده است داراي بعد مثبت و ارتفاع منفي

خواهد بود مانند نقطه‌ي B.
با معلوم بودن ارتفاع و بعد يك نقطه محل دقيق آن نقطه در فضا مشخص نخواهد شد. زيرا بي‌نهايت نقطه مي‌توان يافت كه بعد و ارتفاع يكسان داشته باشد لذا مطابق شكل (۷) از نقطه‌ي I در وسط xy صفحه‌اي را بر xy عمود مي‌كنيم كه بر هر صفحه‌اي افق و قائم عمود باشند.

به كمك اين ۳ صفحه فضا به ۸ ناحيه تقسيم مي‌شود. اگر صفحه‌ي جديد را با نام p بناميم. آن را صفحه‌ي نيم‌رخ را طول آن نقطه مي‌نامند. نقاط واقع در جلوي صفحه‌ي نيم‌رخ داراي طولهاي منفي و نقاط واقع در پشت صفحه‌ي نيم‌رخ داراي طولهاي مثبت خواهد بود. مثلاً نقطه‌ي A داراي ارتفاع و بعد مثبت ولي طول منفي است.
ملخص يك نقطه:
دو صفحه‌ي عمود بر هم q (صفحه‌ي افقي تصوير) و V (صفحه‌ي قائم تصوير) را در نظر مي‌گيريم نقطه‌ي I وسط xy، فصل مشترك اين دو صفحه و محل عبور صفحه‌ي نيم‌رخ است. نقطه‌ي مفروض را در ناحيه‌ي اول انتخاب كرده و عمودهاي aA و Aَa را به ترتيب بر صفحات افق و قائم رسم مي‌كنيم. A را تصوير افقي وَa را تصوير قائم نقطه‌ي A مي‌ناميم. بنا به مطالب گفته شده Aa ارتفاع نقطه‌ي A و َAa بعد نقطه‌ي A مي‌باشد. و صفحه‌اي كه بر اين دو خط (Aa و َAa) مي‌گذرد موازي با صفحه‌ي نيم‌رخ و در نتيجه عمود بر خط‌الارض (فصل مشترك) خواهد بود. از چهارضلعي َaama كه يك مستطيل است معلوم مي‌شود كه بعد يك نقطه فاصله‌ي تصوير افقي آن نقطه از خط‌الارض و ارتفاع هر نقطه نيز فاصله‌ي تصوير قائمش از خط‌الارض مي‌باشد. حال اگر قسمتي از صفحه‌ي قائم را كه در بالاي صفحه‌ي افق است به اندازه ۹۰۰ دوران دهيم (در جهت نشان داده شده تا بر صفحه‌ي افق منطبق شود خط َma نيز حول محور xy بر روي صفحه‌ي نيم‌رخ دوران مي‌يابد. پس از انطباق بر صفحه‌ي افق نقطه‌ي َa در وضعيت جديد ۱ َa قرار مي‌گيرد به طوري كه نقطه‌ي a در زير خط‌الارض و ۱ َa در بالاي خط‌الارض قرار خواهد گرفت. خطي كه اين دو تصوير را به هم وصل مي‌كند. عمود بر خط‌الارض بوده كه آن را رابط نقطه‌ي A مي‌نامند. شكل ۸ را ملخص نقطه‌ي A مي‌گويند. پس در

ملخص هر نقطه تصاوير افق و قائم هر نقطه بايستي روي يك خط رابط قرار گيرد.

ملخص نقاط A در ناحيه‌ي اول B در ناحيه‌ي دوم C در ناحيه‌ي سوم و D در ناحيه‌ي چهارم به صورت زير خواهد بود:
الف) نقطه‌ي A در ناحيه‌ي اول: اگر نقطه در ناحيه‌ي اول باشد بعد و ارتفاع هر دو مثبت بوده تصوير افقي در زير و تصوير قائم در بالاي خط‌الارض خواهد بود.

ب)اگر نقطه در ناحيه‌ي دوم باشد بعد منفي و ارتفاع مثبت بوده و هر دو تصوير نقطه در بالاي صفحه قرار مي‌گيرد.

 

ج)اگر نقطه در ناحيه‌ي سوم باشد بعد و ارتفاع هردو منفي بوده و تصوير افقي در بالا و تصوير قائم در زير خط زمين قرار مي‌گيرد.

د)اگر نقطه در ناحيه‌ي چهارم باشد بعد مثبت و ارتفاع منفي است و هردو تصوير در زير خط زمين قرار مي‌گيرند.

هـ) نقاط واقع بر روي صفحه‌ي افق تصوير ارتفاعشان صفر و بعدشان مثبت يا منفي است.

و)نقاط واقع بر روي صفحه‌ي قائم تصوير بعدشان صفر و ارتفاعشان مثبت يا منفي است.

ز)نقاط واقع بر روي خط‌الارض بعد و ارتفاعشان هردو صفر است.

صفحات نيمساز فرجه‌ها:
صفحاتي كه فرجه‌ي بين صفحات تصوير را نصف كند صفحات نيمساز فرجه‌ها ناميده مي‌شوند. كه يكي صفحه‌ي نيمساز فرجه‌ي اول و سوم و ديگري صفحات نيمساز فرجه‌ي دوم و چهارم خواهد بود.

ملخص نقاط واقع بر روي صفحات نيمساز فرجه‌ها:

چون فاصله‌ي هر نقطه روي صفحات نيمساز فرجه‌ها از دو وجه آن به يك اندازه است. بنابراين بعد و ارتفاع نقاط واقع در صفحات نيمساز فرجه يا مساوي و يا قرينه‌اند كه ملخص آنها بصورت شكل ۱۰ خواهد بود.

فاصله‌ي نقطه از خط‌الارض:
از نقطه‌ي A عمود Aa را بر صفحه‌ي افق و عمود aa را بر خط‌الارض رسم مي‌كنيم. بنابر قضيه‌ي سه عمود Aa نيز بر خط‌الارض عمود بوده و فاصله‌ي نقطه‌ي A از خط‌الارض مي‌باشد.

به طوري كه از شكل ۱۱ پيداست فاصله‌ي نقطه تا خط‌الارض وتر مثلث قائم‌الزاويه‌اي است كه يك ضلع آن بعد و ضلع ديگرش ارتفاع همان نقطه است. بنابراين در هر حالت اندازه‌ي اين فاصله وتر مثلث قائم‌الزاويه‌اي است كه اضلاع مجاور زاويه‌ي قائمه‌ي آن قدر مطلق بعد و ارتفاع نقطه مي‌باشند.
مثال: ملخص نقطه‌اي را رسم كنيد كه بعد آن و فاصله‌ي آن از خط‌الارض معلوم است.

مثال: ملخص نقطه‌اي را رسم كنيد كه فاصله‌اش با خط‌الارض مساوي x و ارتفاع آن مساوي فاصله‌اش از صفحه‌ي نيمساز فرجه‌ي اول باشد.

فصل سوم
۱)ملخص خط مستقيم:
مي‌دانيم براي نشان دادن يك خط در فضا كافي است ۲ نقطه آن را نمايش دهيم پس اگر ملخص‌هاي ۲ نقطه از خطي معلوم باشند آن خط را مي‌توان مشخص كرد. اگر مطابق شكل ۱۲َaa و َbb، ۲ نقطه از خطي باشند كه از ۲ نقطه‌ي A و b مي‌گذرد تصوير افقي آن خط و خطي كه از َaa مي‌گذرد تصوير قائم آن خط خواهد شد.

اگر نقطه‌اي مانند M روي خط باشد تصاوير آن روي تصاوير خط بر يك رابط واقع مي‌شود مانند شكل ۱۳ چنانچه نقطه‌اي پاره‌خطي را به نسبت معلوم تقسيم كند تصاوير نقطه نيز تصاوير آن پاره‌خط را به همان نسبت تقسيم خواهد كرد.‌ مثلاً نقطه‌اي كه وسط يك پاره‌خط باشد تصاويرش نيز وسط تصاوير پاره‌خط خواهد بود.

۲)فصل مشترك خط با صفحات تصوير (آثار يك خط):
مطابق شكل ۱۴ خط ∆ و َ∆ را در نظر مي‌گيريم. محل تلاقي اين خط با صفحه‌ي افق نقطه‌اي است كه روي صفحه‌ي افق قرار گرفته است و ارتفاع آن صفر است. چون فاصله‌ي نقاط َ∆ از خط زمين ارتفاع نقاط مختلف خط مي‌باشد َ∆ خط زمين را در هر نقطه‌اي قطع كند ارتفاع آن نقطه صفر بوده و محل برخورد خط با صفحه‌ي افقي بدست مي‌آيد. چون a و َa روي يك رابط قرار دارند از نقطه‌ي َa رابط را رسم كرده تا ∆ را در نقطه‌ي a قطع كند. به همين ترتيب محل برخورد ∆ با خط زمين نقطه‌اي را مشخص مي‌سازد كه بعد آن صفر است. با رسم رابط در اين نقطه فصل مشترك خط با صفحه‌ي قائم بدست مي‌آيد كه نقطه‌ي َbb مي‌باشد.

 

مثال: روي خط مفروض َdd ملخص نقطه‌اي از آن را تعيين كنيد كه ارتفاع آن معلوم است.

مثال: روي خط فرضي َ∆∆ ملخص نقطه‌اي از آن را با بعد معلوم پيدا كنيد.

مثال: ملخص خطي را رسم كنيد كه با صفحه‌ي افق موازي باشد.

۳)خطوط خاص:
بنا به مطالب گفته شده مطابق شكل ۱۵ ملخص خط مستقيم با استفاده از ملخص‌هاي ۲ نقطة آن مانند a و َbb رسم مي‌گردد. خطي كه از ۲ نقطه‌ي a و b مي‌گذرد تصوير افقي و خطي كه از ۲ نقطه‌ي َbَa مي‌گذرد تصوير قائم آن خط است كه اين خطوط را به نامهاي َaa و َbb يا به صورت d و َd مي‌خوانيم. نسبت به اينكه اين خط مستقيم موازي صفحات تصوير باشد يا نه حالتهاي خاصي به شرح زير وجود دارد.

۴)خط افقي يا افقيه:
اگر مانند شكل ۱۶ خط D روي صفحه‌اي مانند P باشد كه موازي صفحه‌ي افق است. آن خط نيز با صفحه‌ي افق موازي بوده و آن را خط افقي يا افقيه مي‌نامند. در اين صورت ارتفاع تمام نقاط آن خط با هم مساوي و تصوير قائم آن خط با خط زمين موازي خواهد بود. تصوير افقي خط نيز با خود خط موازي قرار خواهد گرفت. در نتيجه مطابق شكل ۱۶ زاويه‌ي بين تصوير افقي خط با خط زمين برابر با زاويه‌ي خط با صفحه‌ي قائم خواهد بود.
مثال: از نقطه‌ي داده شده خط افقي چنان رسم كنيد كه با خط زمين زاويه‌ي ۶۰۰ داشته باشد.

۵) خط مواجهه:
مطابق شكل ۱۷ خط D روي صفحه‌اي مانند P است كه با صفحه‌ي قائم تصوير موازي است. تصوير افقي آن خط با خط زمين موازي خواهد بود پس بعد تمام نقاط روي آن با هم مساوي‌اند. تصوير قائم آن نيز با خود خط موازي خواهد بود. در نتيجه زاويه‌اي كه تصوير قائم با خط زمين مي‌سازد با زاويه‌ي بين خود خط و صفحه‌ي افق مساوي خواهد بود. اين

خط را خط مواجهه مي‌نامند.
۶) خط جبهي يا جبهيه:
اگر خط D مطابق شكل موازي صفحه‌ي افق و قائم قرار بگيرد با فصل مشترك آنها يعني با خط زمين موازي خواهد بود و هردو تصوير افقي با آن نيز با خط زمين موازي خواهد بود پس بعد و ارتفاع تمام نقاط آن يكسان است. اين خط را خط جبهي يا جبهيه گويند.

۷ خط قائم:

مطابق شكل ۱۹ خطي بر صفحه‌ي افق عمود باشد آن را خط قائم مي‌ناميم در اين حالت تصوير افقي اين خط يك نقطه بوده و تصوير قائم آن خطي است كه بر خط زمين عمود است كليه‌ي نقاط واقع بر روي اين خط تصاوير افقي‌شان بر هم منطبق و روي تصوير افقي خط واقعند. ملخص اين خط به صورت شكل ۱۹ خواهد بود. هر خط متقاطع با خط قائم تصوير افقي‌اش از تصوير افقي خط قائم مي‌گذرد.