هندسه

مقدمه :
هندسه شاخه از ریاضیات است که اشکال و اندازه ها را مورد سر و کار دارد. هندسه ممکن است به عنوان علم فضا نیز انگاشته شود. همانطور که یک حسابگر مورد سر و کار دارد. با مسائلی را که شامل محاسبه(شمارش)است، هندسه نیز مسائلی را که در برگیرندۀ فضا است توضیح و ربط می دهد. هندسه پایۀ به ما این امکان را می دهد تا خصوصیاتی را مانند مساحت و محیط اشکال دو بعدی و سطوح صاف و حجم های اشکالی سه بعدی را تعیین کنیم.

افراد از فرمول های مشتق شده از هندسه را در زندگی روزمره برای کارهایی مانند مقدار رنگ لازمه برای رنگ آمیزی دیوارهای یک خانه یا برای محاسبۀ مقدار آب یک آکواریوم استفاده می کنند.
متدلوژی (روش شناسی)
هندسه قطعات مستقل ادراکی ساده را برای ایجاد با ساختارهای منطقی پیچنده ترکیب می کند. این قطعات مستقل شامل موارد تعریف نشده، اصطلاحات تعریف شده و قضیه ما می باشند. ترکیب این اجزاء زنجیره هایی از برهان ها را بوجود می آورد که نتایج موسوم به قضیه ها را حمایت (تأیید) می کند.
 اصطلاحات تعریف نشده :
بعضی از مفاهیم اصلی در هندسه به صورت مفاهیم ساده تری بیان نشده اند. معروفترین آنها نقطه، خط و صفحه است. این مفاهیم اساسی از تجربیات روزانه بوجود آمده است. بنابراین تجربه از مکانی که یک شیئی است منتهی به ایده ای از یک مکان ثابت و دقیق می شود.
آنچه که اصطلاح “نقطه” به آن اشاره دارد مفهوم شهودی و مبتنی بر درک است. اجسام فیزیکی زیادی مفهوم “نقطه” را ارائه می دهند. از جمله گوشۀ یک قطعه، نوک یک مداد و یا نقطه ای روی یک صفحه کاغذ.
این چیزها مذل، نحوۀ نمایش یا تصویر نقطه نامیده میشود. گرچه موارد فوق تقریباً فقط م

فهومی در ذهن را ارائه می دهند. بطور مشابه، یک ردیف از نقطه های موجود در یک رشته محکم کشیده شده، لبۀ یک میز یا میلۀ پرچم که بصورت نامحدودی در دو جهت امتداد یافته اند خط نامیده میشود.
واژۀ “صفحه” یک سطح مسطح را توصیف می کند. مانند کف اطاق، صفحۀ نمایش یا تخته سیاه. اما با این فرض که در همۀ جهات بصورت نامحدودی امتداد یافته است. و این بدین معنی است که صفحه هم مانند یک خط که انتها ندارد، لبه ندارد. سایر اصطلاحات تعریف نشده ارتباط بین نقطه ها، خطوط و صفحات را توضیح می دهد مانند ارتباط بیان شده بوسیلۀ این عبارت نقطه ای

که روی یک خط قرار می گیرد.”
 اصطلاحات تعریف شده :
اصطلاحات تعریف نشده می توانند برای تعریف سایر اصطلاحات ترکیب شوند مثلاً نقاطی در یک خط مستقیم قرار نگرفته اند، همان نقاطی هستند که روی همان خط قرار نمی گیرند. پاره خط بخشی از یک خط است که شامل دو نقطۀ خاص است و همۀ نقطه ها بین آن دو نقطه خاص قرار می گیرد.
در حالیکه (ray) بخشی از یک خط است که شامل نقطۀ خاص موسوم به نقطۀ انتهایی و همۀ نقاطی است که بطور نامحدودی در یک طرف نقطۀ انتهائی امتداد یافته اند.
اصطلاحات تعریف شده می توانند با یکدیگر و با اصطلاحات تعریف نشده به منظور تعریف اصطلاحات بیشتر ترکیب شوند.
به عنوان مثال، یک زاویه ترکیبی از دو خط یا دو پرتو مختلفی است که در یک نقطه پایانی مشترک هستند. همینطور یک مثلث از سه نقطۀ غیر واقع در یک امتداد پاره خطهایی که بین آنها قرار دارد تشکیل شده است.

قضیه ها:
قضیه ها، یا اصل ها، ثابت نشده اند اما فرضیه هایی هستند که پذیرفته شدۀ جهانی هستند. مثلاً “فقط و فقط یک خط وجود دارد که از دو نقطۀ معین می گذرد”. سیستم متشکل از یک سری قضیه های نامتناقض اصول کلی راجع به اصطلاحات تعریف نشدۀ نقطه، خط و صفحه را با قضیه های استنباط شده از این اصول کلی را هندسه گویند .
مجموعه های متفاوت قضیه ها کل سیستمهای متفاوت هندسه را تعیین می کنند. اگر قصیه های انتخاب شده بوسیلۀ تجربۀ فضای فیزیکی ارائه شوند، بنابراین بطور منطقی انتظار می رود تا نتایج بدقت با تجربیات مربوط به فضا ارتباط نزدیکی داشته باشد. اما چون هر سری از قضیه ها حتماً باید بر اساس مشاهدۀ ناقص و تقریبی انتخاب شوند بنابراین آنها به احتمال زیاد برای فضای واقعی بطور تقریبی قابل اعمال هستند.
بنابراین تعجب آور نیست که هر هندسه خاصی برای مسائل فضای واقعی غیر کاربردی یا فقط تا حدی کاربردی از کار درآید.
برهان ها:
برهان بطور منطقی از قضیه ها نتیجه گیری میوند. این فرآیند نتیجه گیری و قیاس یک دلیل (ثبات) نامیده میشود. هر مرحله از یک برهان باید بوسیلۀ یکی از قضیه ها یا بوسیلۀ یک برهانی که قبلاً ثابت شده است توجیه شد. یک برهان ساده به عنوان مثال اثبات می کند که یک خطی که با یکی از دو خط موازی است با هر دو خط هم موازی است. خطوط موازی خطوطی هستند همیشه در تمام طول خود به یک اندازه از هم فاصله دارند.

در اثبات یک برهان در هندسه، ما از یک سری از قضیه ها نتیجه ای را استنباط می کنیم.
هندسۀ اقلیدسی
شاید آشناترین هندسه و هندسه شهودی و مبتنی بر درک هندسۀ اقلیدسی نامیده شود. هندسه اقلیدسی همیشه جنبه های جهان هر روزه را شامل می شود و بعداً از اقلیدس، ریاضی دان یونان باستان که آن را پایه گذاری کرد، نامگذاری شد در حالیکه قضیه های هندسۀ اقلیدسی بنظر پذیرفتنی هستند وقتی که برای فضای فیزیکی جهان ما بکار برده میشود. شواهدی وجود دارد که هندسۀ اقلیدسی سیستم کاملی برای توصیف فضا نیست.
هندسه اقلیدسی دو بعدی اغلب هندسۀ سطح نامیده می شود. هندسۀ اقلیدسی سه بعدی اغلب اشاره به هندسۀ فضایی (سه بعدی) دارد. هندسۀ مسطح اشکالی را مورد بررسی قرار می دهد که بطور کامل در یک سطح قرار دارند. یک سطح ممکن است بر حسب دو بعد طول و عرض اندازه گیری شوند. هندسۀ فضائی (سه بعدی) اشکالی را مورد بررسی قرار می دهد که سه بعد دارند : طول، عرض و ارتفاع
مقاطع مخروطی، یک موضوع مطالعه شده رایج هندسه، خطوط منحنی دو بعدی هستند که بوسیلۀ برش یک صفحه از میان یک مخروط تو خالی سه بعدی بوجود می آید.
A : قضیه های اقلیدس
اقلیدس، حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد مسیح می زیست، دریافت که فقط تعداد کمی از قضیه های زیر بنای برهان هندسی مختلف تا آن زمان شناخته شده بودند. او تعیین کرد که این برهان ها فقط از پیچ قضیه می توانند نتیجه گیری شوند.
۱- یک خط مستقیم ممکن است از میان هر یک از دو نقطه داده شده کشیده شود.
۲- یک خط مستقیم ممکن است بطور نامحدود کشیده شود یا در هر نقطه ای محدود شود.
۳- یک دایره ممکن است با استفاده از هر نقطه داده شده به عنوان مرکز و با هر شعاع داده شده رسم شود. (فاصله از مرکز تا هر نقطه روی دایره)
۴- همۀ زاویه های قائمه یکسان هستند (یک زاویه قائمه زاویه ۹۰ درجه را اندازه گیری می کند. دو شکل هندسی یکسان هستند اگر آنها بتوانند حرکت داده شوند یا چرخانده شوند به طوری که دقیقاً همپوشانی داشته باشند )
۵- یک خط مستقیم داده شده و نقطه ای که روی خط قرار ندارد، یکی و فقط یک خط مستقیم ممکن است رسم شود که موازی با خط اول باشد و از نقطه هم عبور کند.
این پیچ قضیه می تواند در ترکیب با اصطلاحات تعریف شده متعدد برای اثبات خصوصیات اشکال دو یا سه بعدی مانند مساحت ها و محیط ها استفاده شود. این خصوصیت ها می توانند در جای خود برای اثبات برهان های هندسی پیچیده تری استفاده شوند.
B : اشکال اقلیدسی دو بعدی

اشکالی که به عنوان هندسۀ دو بعدی محسوب می شوند عبارتند از: دایره ها، چند ضلعی ها، مثلث ها و چهار ضلعی ها هستند . مثلث ها در واقع چند ضلعی های سه ضلع هستند. چهار ضلعی ها چند ضلعی چهار ضلع هستند .

B1 : دایره ها
دایره یک خط منحنی صفحه ای است که همۀ نقطه های روی آن از یک نقطۀ واقع در صفحه بنام مرکز به یک اندازه فاصله دارد. فقط یک دایره ممکن است رسم شود که از سه نقطه ای که در یک غیر واقع بر یک امتداد هستند عبور کند. واژه دایره بعضی اوقات دلالت می کند بر کل قسمتی که بوسیلۀ یک خط منحنی احاطه شده باشد تا فقط فقط نقاط روی خط منحنی .

دایره های هم مرکز دایره هایی هستند که یک مرکز مشترک دارند. یک زاویه، زاویه مرگزی دایره نامیده می شود که اگر رأس آن (نقطه ای که دو ضلع زاویه به هم برسند) در مرکز باشد و اضلاعش از مرکز دور شوند. محیط دایره به ۳۶۰ درجۀ مساوی تقسیم می شود و مقدار درجه یک زاویه مساوی است با مقدار درجه در کمان روبروی روی دایره.
مساحت دایره مساوی است با حاصلضرب محیط در قطر تقسیم بر چهار یا َ مساوی است با . نسبت محیط به قطر تقریباً ۳۰۱۴۱۵۹ است. این عدد ثابت “پی” نامیده می شود و یک عدد نامحدود از ارقام بدون تکرار دارد. سطح یک دایره ممکن است بصورت A=Pr2 نوشته شود در حالیکه r شعاع است به همین شکل، محیط برابر است با حاصلضرب قطر در عدد ثابت پی C=pd .
چند ضلعی ها
شش ضلعی
چند ضلعی طرحی بسته و محدود است با چند خط راست، اگر تمام اضلاع چند ضلعی ها طولهای اضلاعشان با آنها طول مساوی باشد و همچنین زوایا نیز با هم مساوی باشد این چند ضلعی را یک کثیر الاضلاع منتظم گویند. ارتفاع یک کثیر الاضلاع منتظم فاصله عمودی مرکز تا یکی از اضلاع است مساحت یک چند ضلعی برابر است با  نصف ارتفاع و محیط ap A= .

مثلث
یک مثلث یک شکل مسطح محدود با سه خط راست است یک مثلث نامشخص از سه ضلع نامساوی تشکیل شده ( منظور طولهای نامساوی)
مثلث متساوی الساقین از دو ضلع مساوی و یک مثلث متساوی الاضلاع از سه ضلع مساوی، در یک مثلث متساوی الساقین دو ضلع و دو زاویه با هم مساوی هستند و در یک متساوی الاضلاع همه زوایا و ضلعها با هم مساوی هستند یک مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یک ضلع قائمه دارد.
ضلع مقابل به زاویه قائمه وتر نامیده می شود . قضیه مشهور فیثاغورثی بیان می کند که مربع وتر مثلث قائم الزاویه برابر مجموع مربعات دو ضلع دیگر است C2=a2+b2 .
زوایا درون یک مثلث همان زوایا در داخل هستند آنها ایجاد می کنند متصل کردن یک ضلع با زاویه های درونی زاویه دیگر. مجموع زوایای درونی یک مثلث مساوی با ۱۸۰ درجه است مساوی با مجموع زوایای درونی دور را به شکل زاویه در بیاورید ( مجموع درونی شکل با زاویه بیرونی شکل مساوی می باشد).
یک خط از نوک رأس یک مثلث به وسط پاره خط روبرو (ضلع روبرو) کشیده بعد یک خط از نوک رأس مثلث به نقطه دو سوم از نقطه میانی وصل کرده و همچنین خطی بر درازای یک ارتفاع مثلث از نوک به ضلع روبرو قائم کشیده شود (دو خط عمودی هستند اگر آنها در یک زاویه قائم به هم برسند) دو مثلث سازگار هستند اگر از یکی از حالات زیر پیروی کنند :
۱- دو زاویه و یک ضلع مثلث با دو زاویه و یک ضلع مثلث دیگر مطابق باشد.
۲- دو ضلع زاویه در بر گیرنده یک مثلث مساوی با دو ضلع هستند.
۳- سه ضلع یک مثلث مساوی با سه ضلع دیگر هستند اگر مثلث ها بدون از بین بردن صفحه مشترک بتوانند بر هم مطابق اگر دو مثلث با زاویه های مساوی باشند آیا می توان گفت شبیه و اضلاع متناسب به یکدیگر هستند.
مساحت هر سه پایه های ضربی مساوی بر اساس نیمی از یک پایه و ارتفاع قائم است ah A=(هر ضلع قاعده مثلث ) را می تواند بررسی شده باشد اما معمولاٌ ضلع روی وتر نیز تعیین شده است، اگر مثلث متساوی الاضلاع است مساحت آن بدست می آید یک جایی که طول ضلع است اگر اضلاع هر مثلث c,b,a باشند مساحت آن را به وسیلۀ یک رابط معین است اعتبار دادن به ریاضیدان یونان باستان ارشمیدس جایی که نصف محیط است .
چهار گوش ها
یک چهار گوش شکل و طرحی محدود با چهار خط راست است آنها چندین روش آشنا چهار گوش ها هستند چندین چهار گوش است که به انواع آن آشنا هستید؛
ذوزنقه ها مربوط به چهار گوشها هستند که دو ضلع موازی نامساوی از طول دارند؛
متوازی الاضلاع ها مربوط به چهارگوشها هستند که اضلاع روبرو دارند از طول مساوی یک لوزی یک متوازی الاضلاع است (همچنین مربوط به یک چهارگوش ) با اضلاع مساوی یک راست گوشه متوازی الاضلاع است مربع نیز یک متوازی الاضلاع است با زوایای قائمه. مورب های یک متوازی الاضلاع از یکدیگر عبور می کنند اگر همچنین متوازی الضلاع یک راست گوشه است مورب ها هستند مساوی باشد مربوط به چهارگوشهای بی قاعده چهار ضلع نامساوی و ناموازی دارند مساحت یک ذوزنقه نصف مجموع اضلاع در ارتفاع
برای بی قاعده چهارگوش ها یک روش خوب برای معلوم کردن مساحت آن است که با

یک خط مورب آن را به دو مثلث تقسیم کرد بنابراین شخص مساحت دو مثلث را پیدا کرده و به هم اضافه می کند .
اشکال اقلیدوسی سه بعدی
معمولاً اشکال سه بعدی شامل می شوند کره ها ، هرم ها و منشورها و استوانه ها و مخروط ها. استوان ها در واقع موضوعات مخصوص منشورها هستند مخروطها موضوعات مخصوص از هرم ها هستند .
۱- کره ها
یک کره سطح است همه نقطه ها هم مسافت هستند از نقطه مرکز. اگر یک کره را برش دهند سطح مقطع برش خورد دایره می باشد. بزرگترین دایره (بزرگترین دایره از محیط کره گرفته شده) تولید شده است وقتی که مرز کره را مرور می کند روی زمین استوا بزرگترین دایره محیط کره است مساحت سطح یک کره به وسیلۀ a=4pr2 معین است و حجمش به وسیلۀ pr v=.
2- چند وجهی ها
یک چند وجهی یک شکل محدود با طرح سطح است یک جسم چند وجهی یک شکلی است که حد و مرز آن با صفحات تعریف شده است اگر اصول چند وجهی ها همان چند ضلعی های منظم باشد چند وجهی های منتظم گفته می شود این یک اصل است که پنج چند وجهی منتظم – تتراهیدرون (چهار وجهی) مکعب (شش وجهی) اوکتاهیدرون (هشت وجهی) دودکاهیدرون (۱۲ وجهی) و ایکوساهیدرون (۲۰ وجهی) – فقط در یک حالت ممکن است این پمج چند وجهی را هندسه دانان یونان قدیم شناختند تمام چند وجهی ها (منتظم یا غیر منتظم) خصوصیات تغییر پذیری دارند مانند تعداد وجه ها صفحات مسطح + تعداد رأسها (زاویه جایی که گوشه ها برخورد می کنند) مساوی است با تعداد یالهای + ۲
تا فرضیه نسبی زمان اخیر به این باور بودند که چند وجهی ها دارند یک ارتباط سری با پدیده های طبیعی .
۳- منشورها
یک منشور هست یک چند وجهی که چند ضلعی های موازی و همچنین دارند که قاعده نامیده می شوند برای دو صفحه و متوازی الاضلاع برای تمام صفحات دیگر یک متوازی السطوح دیگر یک متوازی السطوح یکی از منشورات فرعی است که قاعده های آن متوازی الاضلاع هستند یک منشور قائم مستطیل هایی برای اطافش دارند. (اما قاعده ها نیاز نیست).
۴- هرم ها
یک هرم، یک چند وجهی است که یک چند ضلعی به عنوان مرکز آن و کناره های آن دارد که عبارتند از مثلثهائی که دارای نوک عمومی هستند که رأس نامیده می شود. یک هرم دارای قاعده منتظمی است اگر مرکز آن یک چندضلعی منتظمی است و اگر یک خط متصل کننده مرکز پایۀ آن به نوک آن، عمودی به مرکز آن است. حجم هر هرمی برابر با یک سوم مساحت مرکز آ

ن در ارتفاع آن است :
۵- استوانه ها و مخروط ها
یک استوانه، منشوری است که دارای مراکز مدوری است. فرمول برای حجم یک استوانه بنابراین، هان فرمول وابسته به یک منشور است: A=bh . اگر خط متصل کننده مراکز دو پایه، به آن پایه ها، عمود است، استوانه قائم است در غیر اینصورت یک استوانۀ مایل است.
یک مخروط یک هرم است که دارای یک مرکز مدور است. یک مخروط، یک مخروط قائم است .
اگر یک خط وصل کننده مرکز پایۀ آن به محور آن قائم به مرکز آن است. فرمول حجم یک مخروط همان فرمول وابسته به یک هرم است : .
رئوس مخروطی
رئوس مخروطی، منحنی هائی هستند که توسط تقاطع یک سطح با سطح یک مخروط تشکیل می شوند. (هنگامیکه رئوس مخروطی بحث می شوند مخروط به مفهوم دو مخروطهای مدور است که نوک قرار داده می شوند. ) سطح مخروط روی هر یک از چند نوک کف مخروط خوانده می شود. اگر A، زاویۀ بین محور مخروط و سطح آن است و مخروط توسط سطحی قطع می شود که زاویه ای با محور می سازد، بزرگتر است از A ، تقاطع یک منحنی بسته است که یک بیضی خوانده می شود.
اگر سطح از وسط محور در یک زاویه مساوی با A قطع می گردد، بنابراین، سطح موازی با سطح مخروط است، تقاطع یک منحنی با اندازۀ نامحدود است که یک سهمی خوانده می شود. اگر مخروط توسط یک سطح قطع می گردد، یک هم موازی با محور است و یا زاویه ای را با آن می سازد که کوچکتر از A است و اگر سطح دارای نوک مخروط نمی باشد، تقاطع یک هذلولی خوانده می شود. در این حالت، مخروط ضرورتاً در هرد و کف قطع می شود، هذلولی بدست می آید که دو شاخه دارد که هر کدام در پهنا نامحدود است.
رئوس مخروطی، منحنیهای سطح یا دو بعدی هستند و بنابراین یک تعریف مطلوب از رئوس مخروطی، نظریۀ یک مخروط را در نظر نمی گیرد که سه بعدی است . یک رأس مخروطی ممکن است از لحاظ دو بعدی، به عنوان دسته ای نقاطی تعریف گردد که بعدها از سوی چند نقطه ثابت در یک نسبت ثابت با بعد نقاط از سوی یک خط ثابت هستند که از طریق نقطۀ ثابت عبور نمی کنند نقطۀ ثابت، کانون خوانده می شود و نقطۀ ثابت هلوی خوانده می شود نسبت ثابت دوری از مرکز رأس مخروطی خوانده می شود و معمولاً توسط حرف e مطرح می شود. اگر p یک نقطه است و Q با یک خط از نقطۀ p عمود به هلوی است، نقطۀ p روی رأس مخروطی است اگر است که . بعدهای بین نقاط مذکور است.
هنگامیکه e=1 ، رأس مخروطی یک لهمی است، در صورتیکه e>1، یک هلوی است

و در صورتیکه e<1، یک بیضی است.
رئوس مخروطی، خصوصیات ریاضی متعددی دارند که به آن ها کاربردهای مهمی را در فیزیک و ریاضیات ارائه می دهد.
به عنوان مثال ، نور بازتاب یافته توسط آینه ها که به منحنی یک رأس مخروطی مدل بندی می شود، ویژگی های خاصی را دارد: پرتوهای صادر شده در هر جهت از مرکز یک دایره ، به سمت مرکز بازتاب داده می شوند. پرتوهای صادر شده در هر جهت از یکی از دو مرکز هندسی یک بیضی به کانون دیگر بازتاب داده می شوند. آینه های لهمی اغلب در نورهائی استفاده می شوند .
به خاطر اینکه پرتوهای صادر شده از کانون یک لهمی در خطوط موازی بازتاب داده می شوند، که پراکندگی را به حداقل می رسانند پرتوهای صادر شده از یک کانون یک هذلولی در چنین جهتی بازتاب داده می شوند که گویا از کانون دیگر صادر می شوند.
۶- هندسۀ تحلیلی
هندسۀ تحلیلی از سوی شناختی مطرح شد که معادلات جبری و متعدد ویژه با نقاط خطوط و اشکال هندسی مربوط می شوند (جبر را مطالعه نمائید) به تصویر کشاندن معادلاتی که دسته ای از محورها و پیوستها را مورد استفاده قرار می دهد، نقاط، خطوط، یا اشکال را به نصویر می کشاند. به عنوان مثال هر نقطه در یک مکان می تواند با توجه به یک جفت از محورهای عمود توسط تخصیص بعد از هر یک از این محورها قرار داده شود. تعداد x مثبت در گوشه راست محور- y و تعداد منحنی به سمت چپ قرار داده می شوند. تعدار y مثبت، بالا محور – x و تعداد y منحنی زیر x قرار داده می شوند. نقطه E، یک واحد از محور عمودی y و چهار واحد از محور افقی x است.

اتصالات نقطآ e ، بنابراین ۱ و ۴ هستند و نقطه توسط معادلات x=1 و y=4 قرار داده می شود .
به عنوان مثال ، مجموعه نقاطی که روی خط مستقیم قار می گیرند از طریق نقاط E و F، معادلۀ x+y=5 را مطرح می کند. (در این معادله ساده a و b هر دو برابر با یک و c برابر با صفر است).
هر ترکیب x و y مطرح می نماید که معادله را به وجود می آورد که یک نقطه روی خط قرار می گیرد . معادلات جبری را تعیین می نماید که توسط این نقاط دنبال می شود. ن.ع دوم مسئله : ارائه یک عبارت هندسی، موقعیت های نقاطی را توصیف می کنند که عبارت را در واژه های هندسی دنبال می کند.
به عنوان مثال، یک دایره دارای شعاع ۳ با مرکز آن در نقطه تقاطع محور x و محور y (ریسه) ،

مجموعه نقاطی است که معادله x2+y2=q را به وجود می آورد.
از چنین معادلاتی ، حل مسائل ساختار هندسی مثل تقسیم واقعی به هدف، یک زویۀ ارائه شده، ساخت یک عمود به یک خط ارائه شده در یک نقطه ارائه شده با کشیدن یک دایره از طریق سه نقطه ارائه شئه عبور خواهد نمود که در همان خط مستقیم نیستند ، امکان پذیر است. نقاط، خطوط و اشکال در فضای سه بعدی می توانند متشابهاً با توجه به سه محور قرار داده شود که از میان این محورها، محور سومی که کعمولاً محور z خوانده می شود، عمود به دو محور دیگر در نقطۀ تقاطع آن ها است که معمولاً مبدأ خوانده میشود.
هندسۀ تحلیلی ، ارزش بسیاری را در توسعۀ ریاضیات دارا بود، زیرا ، فرضیه های تحلیلی (روابط عدد) و هندسه (روابط فضا) را یکی نمود. تکنیکهای هندسه تحلیلی که ارائه مجدد اعداد و صورتهای جبری را در واژه های هندسی ممکن ساخت بینش جدیدی را بر تئوری کاربردها و مسائل دیگر در ریاضیات بالاتر به همراه آورده است .
مطالعل هندسه غیر اقلیدسی و هندسه های فضائی که بیشتر از سه بعد دارند، بدون شیوه تحلیلی ممکن نبوده اند.
۷- هندسه غیر اقلیدسی
قضیه پنجم اقلیدس بیان می دارد که از طریق یک نقطه خارج از یک خط ارائه شده، کشیدن تنها یک ط موازی با آن خط ممکن است. به عبارتی دیگر، خطی که هرگز خط ارائه شده را نخواهد دید ، بدون در نظر گرفتن اینکه خطوط چقدر دور در هر جهت کشانده می شوند.
در بخش نخست قرن نوزدهم ریاضی دان آلمانی کارل فردریچ گاس، ریاضیدان روسیه نیکولای ایوانویچ لباچوسکی و ریاضیدان بلغاری، ژانوس بولیا به صورت مستقل ، امکان ساخت یک سیستم ثابت هندسه را مطرح نمودند که قضیه متوازی منحصر به فرد اقلیدس توسط قضیه ای جایگزین گردید که بیان می گرد از طریق هر نقطه مه روی یک خط مستقیم ارائه شده، تعداد نامحدودی از خطوط متوازی به خط ارائه شده می توانست کشیده شود.
مدتی بعد، حدود ۱۸۶۰، ریاضیدان آلمان ، جرج فردریچ برنعماردریض نشان داد که هندسۀ دیگری که در آن هیچ خطوط متوازی کشانده نشد، به صورت برابر ممکن بود.

جزئیات این دو نوع هندسه غیر اقلیدسی، پیچیده هستند ، اما هر دو سیستم می توانند توسط ابزار مدلهای ساده نمایش داده شوند. هندسه بولیا-y بوچوسکی، اغلب، هندسه غیر اقلیدسی هذلولی خوانده می شود، هندسه یک سطح را توصیف می کند که شامل تنها نقاطی داخل یک دایره است که همه خطوط مستقیم داءالقرص دایره هستند. (یک داءالقرص هر گونه خط مستقیم است که در هر سوی توسط یک دایره وصل می شود. به خاطر اینکه ، تعریف خطوط متوازی تنها مستلزم این است که دو طخ متوازی هرگز این مسئله را در نظر نمی گیرد که چه حد کشاندخ می شوند و خطوط در هندسه هذلولی می توانند ماورای گوشه یک دایره کشانده شوند، تعداد

نامحدودی از قطعات متوازی با خط L می تواند از طریق نقطۀ P کشاندخ شود که هرگز خط L را نخواهد دید. به خاطر اینکه در این هندسه، سمتهای جهانی در گوشه دایره کشانده می شوند.
متشابهاً ریمانیان یا هندسه غیر اقلیدسی یضی ، هندسه سطح یک کره ایست که همه خطوط مستقیم دایره های بزرگی هستند. کشیدن هر گونه جفت از خطوط متوازی روی این سطح غیر ممکن است:
برای ابعاد کوچک قابل مقایسه ای چون آن ابعاد که در زندگی روزانه تجربه می شوند، هندسه اقلیدسی و هندسه های غیر اقلیدسی ، ضرورتاً برابر هستند.
به هر صورت ، در ارتباط با ابعاد فضائی و مسائل فیزیک مدرن مثل نسبیت، هندسۀ غیر اقلیدسی ، توصیف واقعی تراز پدیده مشاهده شده ای ارائه می نماید که هندسه اقلیدسی انجام می دهد.