تصمیمات مدیریت پروژه ی چند هدفه ی فازی با استفاده از روش برنامه ریزی آرمانی فازی دو مرحله ای

چکیده
در مسائل تصمیم گیری مدیریت پروزه (PM) عملی ، اغلب ضرایب محیطی و پارامترهای مربوطه ماهیتاً فازی هستند و یک تصمیم گیرنده (DM) باید به طور همزمان اهداف متضاد گوناگون را در یک چارچوب از سطوح انتظار مبهم مورد توجه قرار دهد . این مقاله بر ایجاد یک روش برنامه ریزی ریاضی فازی – دو مرحله ای برای حل مسائل تصمیم گیری مدیریت پروژه چند هدفه در یک محیط فازی متمرکز می باشد . مدل برنامه ریزی چند هدفه فازی اولیه که در اینجا طراحی شده است ، س

عی دارد تا به طور همزمان هزینه های کلی پروژه ، زمان کل اتمام پروزه و هزینه های مجمل کل را با توجه به هزینه های مستقیم ، هزینه های غیر مستقیم ، هزینه های جریمه ی قراردادی ، مدت زمان فعالیت ها و محدودیت بودجه ی در دسترس به حداقل برساند . از یک نمونه ی صنعتی برای نشان دادن امکان پذیری کاربرد روش پیشنهادی برای تصمیمات مدیریت پروژه در دنیای واقعی

استفاده می کنیم . در نتیجه ، این روش پیشنهادی یک جواب ( راه حل ) مؤثر و درجه ی کلی رضایت تصمیم گیرنده (DM) را با مقادیر آرمانی مشخص شده به دست می دهد . چندین مفهوم مهم مدیریت درباره ی کاربرد عملی روش پیشنهادی نیز ارائه شده است . در مجموع ، بخش اصلی این مقاله به معرفی یک روش برنامه ریزی فازی – دو مرحله ای برای حل مسائل تصمیم گیری مدیریت پروژه واقعی با اهداف چندگانه اختصاص دارد .

واژه های کلیدی :
مدیریت پروژه ، نظریه ی مجموعه های فازی ، برنامه ریزی آرمانی فازی – دومرحله ای ، برنامه ریزی خطی چند هدفۀ فازی .

 

۱- مقدمه
مسائل مدیریت پروژه (PM) توجه طولانی مدت دانشگاهیان و پژوهشگران را به خود جلب کرده است .
از وقتی که روش ارزیابی و بازنگری پروژه ها (PERT) و روش مسیر بحرانی (CPM) هر دو در دهه ی ۱۹۵۰ به وجود آمدند ، مدل های متعددی از جمله روش های برنامه ریزی ریاضی ، الگوریتم ها و روش های ذهنی ( اکتشافی ) برای حل مسائل تصمیم گیری مدیریت پروژه به کار رفته اند ، هر یک با مزایا و نقایص خود .
( Patterson , Damis ، ۱۹۷۵ ؛ Elsayed ، ۱۹۸۲ ؛ Goink , Golenko – Ginzburz ، ۱۹۹۸ ؛ Gen , Lin ، ۲۰۰۷ ؛ Wang , Yin ، ۲۰۰۸ ؛ Russell ، ۱۹۸۶ ) .
گرچه اغلب مدل های معمولی مدیریت پروژه مانند آریکان و گانگور (۲۰۰۱) ، بالکی (۱۹۸۹) ، دیپٌرتر و الیس (۱۹۹۰) ، (۱۹۸۶) ، وانگ و فو (۱۹۹۸) با نادیده گرفتن هزینه های جریمه و غیر مستقیم مربوط ، تنها هزینه های مستقیم را در نظر می گیرند . در موقعیت های واقعی ( عملی) ، هزینه های کلی یک پروژه ، مجموع هزینه های مستقیم ( هزینه ی دستمزد ، هزینه ی مواد اولیه و سایر هزینه هایی که مستقیماً با فعالیت های پیش بینی شده در ارتباط هستند ) و هزینه های غیر مستقیم ( هزینه های بخش اداری ، هزینه ی استهلاک ، هزینه ی بهره ، هزینه ی جریمه ی

قراردادی و سایر هزینه های بالا سری متغییر ) می باشد . هدف از ارزیابی توازن های مخارج بر حسب زمان ، ایجاد یک برنامه ی مدیریت پروژه مناسب می باشد که مجموع هزینه های مستقیم و غیر مستقیم را به حداقل خواهد رساند . زمانی هر یک از مدل های متداول برای تصمیمات مدیریت پروژه مورد استفاده قرار می گیرند ، که آرمان ها ( اهداف) و پارامترها به طور کلی قطعی /

۹۷۳ ؛ مک کریمان و رییاوک ۱۹۶۴ ؛ ویلی و دکور و جکسون ۱۹۹۸ ) .
در تصمیمات مدیریت پروژه ی دنیای واقعی ، برآورده کردن مقادیر آرمانی معمولاً باید به دلیل اطلاعات ناقص و غیر قابل دسترس در سراسر افق برنامه ریزی پروژه ، مبهم / فازی باشند . تصمیم گیرنده (DM) معمولاً باید به اهداف متعارض ، به لحاظ استفاده از منابه سازمانی ، بپردازد و این اهداف متعارض نیاز است که به طور همزمان توسط مدیران پروژه اغلب در چارچوب سطوح انتظار فازی بهینه شوند . ( آریکان و گانگور ۲۰۰۱ ؛ آل – فانزین و هااورازی ۲۰۰۵ ؛ وییانا وسوسا ۲۰۰۰ ؛ وانگ ولییانگ ۲۰۰۶ و ۲۰۰۴ ) . راه حل ها برای مسائل بهینه سازی فازی چند هدفه از ارزیابی

ابهام قضاوت های تصمیم گیرنده سود می برند ، مانند « تابع هدف مدت زمان پروژه باید در اصل کمتر از یا برابر با ۱۲۰ روز باشد» و « هزینه های کلی پروژه باید اساساً کمتر تز یا برابر با ۵ میلیون باشد .» بنابراین ، روش های قطعی ( غیر احتمالی ) متداول به خوبی نمی توانند همه ی مسائل برنامه ریزی مدیریت پروژه ی فازی ۱ در محیط های فازی حل کنند . نظریه ی مجموعه های فازی ک

ه توسط Zadeh (1965) ارائه شد ، کاربردهای گسترده ای در زمینه های گوناگون پیدا کرده است . ( برای مثال ، عبدالواحد ولی ۲۰۰۶ ؛ کارلسون و کورهانن ۱۹۸۶ ؛ کلایر و یوآن ۱۹۹۵ ؛ کومر و نشان ۲۰۰۴ ؛ هوآنگ ولای ۱۹۹۲ ؛ لییانگ ۲۰۰۸ ؛ وانگ ولییانگ ۲۰۰۴ ؛ ونرز ۱۹۸۷ ؛ زایمرمان ۱۹۹۶ ) .
از وقتی که Zimmerman (1976) اولین بار نظریه ی مجموعه های فازی را در مسائل برنامه ریزی خطی فازی معمولی ارائه کرد ، روش های برنامه ریزی فازی ریاضی برای پرداختن به مشکلات پی

ش رو در کاربردهای دنیای واقعی بوجود آمدند . این مقاله نظریه ی مجموعه های فازی را برای توسعه ی یک روش برنامه ریزی آرمانی فازی – دو مرحله ای به منظور حل مسائل تصمیم گیری مدیریت پروژه با اهداف چندگانه ارائه می کند تا یک راه حل (جواب ) موثر در یک محیط فازی به دست آید . برنامه ریزی خطی چند گانه اولیه (MOLP) که در این مقاله طراحی شده است ، سعی دارد که هزینه های کلی پروژه ، زمان کل اتمام پروژه و هزینه های فشرده کل را با توجه به هزینه های مستقیم ، هزینه های غیر مستقیم ، هزینه های جریمه ی قراردادی ، طول مدت فعالیت ها و محدودیت بودجه موجود به حداقل برساند . بقیه ی این مقاله بدین ترتیب سازمان یافته است :

بخش ۲ به بررسی آثار نوشته شده درباره ی این موضوع اختصاص دارد ، بخش ۳ مسئله را شرح می دهد ، فرض ها را به طور مفصل بیان می کند و مدل MOLP (برنامه ریزی خطی چند هدفه ) فازی را برای مسائل تصمیم گیری مدیریت پروژه چندهدفه فازی بوجود می آورد . بعد ، یک نمونه ی صنعتی برای تحقق امکان پذیری روش پیشنهادی در بخش ۵ استفاده شده است . بالاخره ، در بخش ۶ نتایج ترسیم می شوند .

۲- بررسی آثار نوشته شده

در تصمیمات PM ( مدیریت پروژه ) عملی ، به دلیل اینکه برخی اطلاعات مربوطه ناقص یا غیر قابل دسترس هستند ، ضرایب محیطی و پارامترها اغلب مبهم / فازی هستند . روش های PM قطعی ( غیر احتمالی ) متداول برای به دست آوردن یک راه حل موثر در محیط های غیر قطعی نامناسب هستند . برای حل مسئله ی ابهام ، Goink , Golenko – Ginzburz (1997) روش های نظریه ی احتمال ۱ برای تصمیمات PM برای یک پروژه ی نوع PERT عرضه کردند تا طول مدت مورد انتظار پروژه را به حداقل برسانند ، و سهم آن محصول مدت زمان میانگین فعالیت و احتمال وجود آن در ضمن ( در جریان ) ادراک پروژه می باشد . بعلاوه ، Goink , Golenko – Ginzburz (1998) یک روش ذهنی را برای حل مسائل PM شبکه ای با منابع محدود طراحی کردند که در آن هر فعالیت ، مدت زمان تصادفی وابسته به مقدار منابع اختصاصی به آن فعالیت می باشد . ربّانی ، قومی ، جولایی و لاهیجی (۲۰۰۷ ) یک روش PM با منابع محدود را برای تصمیمات اختصاص منابع شبکه های

تصادفی ایجاد کردند که مدت زمان مبهم ( غیر دقیق ) هر فعالیت را با یک تابع توزیع دارا می باشد و در آن مقادیر زمان تکمیل فعالیت ها در نقاط تصمیم گیری مشخص می شوند ، وقتی که حداقل ، یک فعالیت آماده ی انجام باشد و منابع قابل دسترس موجود باشند . بررسی های مرتبط ردباره ی تصمیم گیری های PM تصادفی (احتمالی) شامل لوکاس زویکس (۱۹۶۵) ، پارکس و رامیسنگ (۱۹۶۹) و دییازو هدیپریینو (۱۹۹۳) می باشند . گرچه ، در موقعیت های دنیای واقعی ، به دلیل ابهام اطلاعات درباره ی ضرایب محیطی و پارامترها در افق برنامه ریزی پروژه ، روش های برنام

ه ریزی تصادفی نمی توانند یک راه حل موثر را به دست دهند .
برنامه ریزی تصادفی عمدتاً بر اساس مفاهیم نظریه ی تصادفی می باشد و تنها می تواند شکل محدودی از یک تابع توزیع احتمال را نظیر نرمال ، نمایی و بتا (Beta) به خود بگیرد ، بنابراین کمک کمی می تواند به تصمیم گیری های PM عملی بکند . Buckley (1990) و Yazenin (1987) درباره ی مقایسه برنامه ریزی فازی و برنامه ریزی تصادفی اضهار نظراتی کردند . آنها خاطرنشان کردند که مشکلات مهم به کارگیری روش های برنامه ریزی تصادفی برای حل مسائل تصمیم گیری مدیریت پروژه ، فقدان کارایی محاسباتی و اصول احتمالی انعطاف ناپذیر هستند که ممکن است قادر به شکل دادن منظور غیر صریح واقعی تصمیم گیرنده نباشند چون آنها می توانند شکل محدودی از یک تابع توزیع احتمالی معین را به خود بگیرند . مسلماً حل مسائل پیچیده ی تصمیم گیری مدیریت پروژه غیر خطی آسان نیست . از سوی دیگر نظریه ی مجموعه های فازی یک روش مناسب به لحاظ کمّی برای مقابله با مسائل تصمیم گیری فراهم کرده است که به عنوان مدل های برنامه ریزی ریاضی با پارامترهای مبهم فرمول بندی می شوند . Zimmermann (1976) برای اولین بار نظریه ی مجموعه های فازی را برای مسائل برنامه ریزی خطی ارائه کرد . آن بررسی ( مطالعه) ، مسائل برنامه ریزی خطی را با هدف فازی و محدودیت ها مورد توجه قرار داد . به دنبال مفهوم تصمیم گیری فازی Zadeh , Bellman (1970) ، که همان مطالعه تاکید کرد که یک مسئله برنامه ریزی خطی

مشخص معادل وجود دارد . سپس نظریه ی مجموعه های فازی و روش های برنامه ریزی فازی Zimmermann به چند روش بهینه سازی فازی برای حل مسائل تصمیم گیری PM و جلوگیری از مدل سازی غیر واقع بینانه گسترش یافته اند . Kamburowsi , Chanas (1981)
روش PERT فازی را سازمان دادند که می تواند توزیع احتمال زمان اتمام پروژه را در این موقعیت به دست آورد ، وقتی که طول مدت فعالیت خاص در مدل شبکه ای پروژه به شکل مجموعه های فازی در فاصله ی زمانی ارائه شدند ( مانند متغییرهای فازی) . Mjeled (1986) ساختار خاصی از

مسائل اختصاصی منابع فازی را تدوین کرد و یک الگوریتم اختصاصی را برای جواب ( حل) آنها تعریف کرد که بر اساس یک فرمول برنامه ریزی خطی بر حسب متغییرهای اختصاص منابع می باشد و یک متغییر دیگر سطح انتظار مصرف منابع و بازده های فعالیت را شرح می دهد . Tozawa , Gen , Tsujimuta , Chang (1995) زمان های فعالیت را به صورت عددهای فازی (فواصل فازی یا فواصل زمانی ) در تحلیل شبکه ای پروژه در نظر گرفتند و روش Delphi فازی برای تخمین یک فاصله ی زمانی معتبر از هر فعالیت استفاده می شود ، و یک روش کارآمد ( مؤثر) برای محاسبه ی زمان اتمام پروژه های فازی و درجه ی بحرانی برای هر مسیر در یک پروژه بر اساس این تخمین های زمانی پیشنهاد می شود . Lin , Yao (2000) یک روش رتبه بندی علامتدار فاصله را برای اعداد فازی در یک CPM شبکه های فعالیت لبه ای عرضه کردند و از آنها برای به دست آوردن مسیر بحرانی فازی استفاده کردند . لییانگ (۲۰۰۶) یک روش برنامه ریزی خطی فازی تعاملی را برای حل مسائل تصمیم گیری مدیریت پروژه و محدودیت های فازی در یک محیط فازی مطرح کردند . روش FLP توسعه یافته ( پیشرفته) سعی دارد تا هزینه های کلی پروژه را با توجه به هزینه های

مستقیم ، غیر مستقیم ، جریمه ، طول مدت فعالیت ها ، زمان اتمام پروژه ی مشخص و بودجه ی تخصیص یافته ی کل به حداقل برساند . اخیراً ، Oshato , Long (2008) یک روش بحرانی فازی را برای مسائل زمان بندی پروژه تحت محدودیت های منابع و عدم اطمینان ارائه کردند که شامل ایجاد یک برنامه ی قطعی مطلوب تحت محدودیت های منابع و افزودن یک میانگیر (buffer) پروژه به پایان آن برنامه برای مقابله با عدم قطعیت می باشد . مقالات دیگری که در آنها برنامه ریزی فازی ریاضی

برای تصمیم گیری های مدیریت پروژه به کار رفته عبارتند از : Buckley (1998) ؛ Zielinsk , Chanas (2001) ؛ Abo – sinna (1995) ؛ Slawinsk , Hapke (1996) ؛ Fu , Wang (1998) . گرچه در موقعیت های عملی ، برانامه مدیریت پروژه به طور کلی اهداف متضادی در رابطه با استفاده از منابع سازمان دارد ، و این اهداف متضاد نیاز است که به طور همزمان توسط تصمیم گیرنده در چارچوب

سطوح انتظار مبهم حل شوند . Zimmermann (1978) اولین بار دامنه ی روش برنامه ریزی خطی

فازی خود را به یک مسئله ی برنامه ریزی خطی چند هدفه معمولی گسترش داد . برای هر یک از توابع هدف این مسئله ، فرض می شود که تصمیم گیرنده یک هدف فازی دارد مانند « توابع هدف باید اساساً کمتر از یا برابر با یک مقداری باشند »، سپس تابع عضویت خطی متناظر تعریف می

شود و عملکرد مینیمم برای جمع کردن توابع هدف فازی به کار می رود . ارائه ی یک متغییر کمکی می تواند این مسئله را به یک مسئله ی برانامه ریزی خطی معادل معمولی تبدیل کند . بررسی های بعدی درباره ی برنامه ریزی آرمانی فازی (FGP) شامل بررسی هایی از سوی Dubais و Fartemps (1999) ؛ Hannan (1981) ؛ Kuwano (1996) ؛ Leberliy (1981) ؛ Luhanjula می باشد .
تفاوت های اصلی میان این روش ها از انواع عملگرهای اجتماع و توابع عضویت که آنها را به کار می برند ، ناشی می شود . Ellis , Deporter (1990) یک روش برنامه ریزی فازی را برای حل مسئله ی بهینه سازی آرمانی مبهم یا نا مشخص چندگانه ارائه کردند به طریقی که در میان اهداف توافق بود و با استفاده از نرم افزار کامپیوتری LP معمول قابل حل بود . Arikan , Gungor (2001) یک کاربرد عملی از روش FGP را در یک مسئله ی شبکه ای پروژه ی واقعی با دو هدف فازی طراحی

کردند به طوریکه یک زمان اتمام پروژه به حداقل برسد و هزینه های مجمل به طور همزمان بهینه شوند ، و مقایسه هایی بین جواب های FGP و FLP 2 و روش به حداکثر رساندن واژه نگاری نیز ارائه کردند . وانگ ولییانگ (۲۰۰۴) یک مدل برنامه ریزی آرمانی چند فازی (MFGP) را برای تصمیم گیری های مدیریت پروژه بوجود آوردند . آن مدل MFGP می تواند در جه ی کلی رضایت تصمیم گیرنده (DM) را به دست دهد و نیز ویژگی های مهم آن را که مدل MFGP پیشرفته را از مدل های برنامه ریزی تصادفی و قطعی سنتی ( قدیمی ) متمایز می کند ، ارائه می دهد . چن و هانگ ( ۲۰۰۶) یک مدل فازی را با ترکیب فرضیه مجموعه های فازی با PERT پیشنهاد کردند تا زمان کل گردش یک سیستم زنجیره ی عرضه را محاسبه کنند . آن مدل فازی طراحی شده ، اعداد فازی مثلثاتی را بر می گزیند تا این متغییرهای غیر قطعی را شرح دهد و شاخص احتمال بعدی مشخص می شود تا میزان انجام سفارش یک سیستم زنجیره ی عرضه را بر اساس زمان اتمام فازی و موعد مقرر فازی نشان دهد . وانگ ولییانگ (۲۰۰۶) یک مدل FGP تعاملی را توسعه دادند که شبکه ای سیستماتیک را ارائه می کرد که فرآیند تصمیم گیری فازی را برای حل مسائل مدیریت پروژه چند هدفه تسهیل می کند . گرچه ، این مدل های ساده شده ، هزینه های غیر مستقیم نادیده گرفته شده ی بالا ، هزینه های جریمه ی قراردادی و محدودیت بودجه ی کل را شرح دادند ، بنابراین در کاربردهای عملی غیر واقع گرایانه هستند . بویژه ، با این که توجیه شده است که که برخی ویژگی های خوب را دارا می باشد ، استفاده شده است . جواب بهینه به دست آمده توسط عملگر مینیمم ممکن است راه حل مؤثر ( کارآمد ) نباشد . ( Fartemps , Dubois 1999 ؛ Wu, Guu 1999 ؛ Li,Lee 1993 ؛ Li ، Li , Zhang 2006) .

۳- تدوین مسئله
۳-۱- شرح مسئله ، فرض ها و نمادها
مسئله ی تصمیم مدیریت پروژه چند هدفه ی فازی را می توان در این مقاله به این ترتیب بررسی کرد . پروژه ای را فرض کنید که شامل n فعالیت مرتبط با هم باشد که باید به ترتیبی خاص آن را اجرا کرد قبل از اینکه کل کار را بتوان به اتمام رساند . در تصمیمات PM در دنیای واقعی ، مقادیر توابع هدف را نمی توان به درستی ارزیابی کرد چون برخی اطلاعات درباره ی ضرایب محیطی و پارامترهای مربوطه ، ناقص و/ یا در افق برنامه ریزی پروژه غیرقابل دسترس می باشند . بنابراین ، این مقاله بر توسعه ی یک روش برنامه ریزی ریاضی فازی برای حل مسائل تصمیم گیری مدیریت پروژه در یک محیط فازی متمرکز می باشد . مدل Molp (برنامه ریزی خطی چند هدفه ) فازی که در اینجا تدوین و فرموله شده است ، سعی دارد تا به طور همزمان هزینه های کلی پروژه ، زمان کل اتمام پروژه ، و هزینه های فشرده کل را در ارتباط با هزینه های مستقیم ، هزینه های جریمۀ

قراردادی و غیر مستقیم ، طول مدت فعالیت ها و محدودیت بودجه ی موجود به حداقل برساند . این توابع هدف لازم است که به طور همزمان توسط مدیران پروژه در چارچوب سطوح انتظار فازی (aspiration levels) بهینه شوند . مدل برنامه ریزی ریاضی فازی بر اساس فرض های ذیل می باشد :
(۱) همه ی توابع هدف با سطوح انتظار مبهم (نامعلوم) ، فازی هستند .
(۲) همه ی توابع هدف و محدودیت ها معادلات خطی هستند .
(۳) زمان عادی و کوتاهترین زمان ممکن برای هر فعالیت و هزینه ی تکمیل فعالیت در زمان عادی و زمان فشرده مشخص هستند .
(۴) بودجه ی کلی موجود در طول مدت پروژه معلوم می باشد .
(۵) توابع عضویت تکه ای خطی برای اهداف فازی مشخص می شوند ، و عملگر کمینه و عملگر میانگین به طور متوالی برای جمع کردن مجموعه های فازی در روش حل دو مرحله ای مورد استفاده قرار می گیرند .
(۶) هزینه های کلی غیر مستقیم را می توان به دو دسته : هزینه های ثابت و هزینه های متغیر تقسیم کرد ، و هزینه های متغیر هر زمان واحد بدون توجه به زمان تکمیل پروژه یکسان هستند .
فرض (۱) به فازی بودن توابع هدف در مسائل تصمیم گیری PM عملی مربوط می شود ، تغییرات را در قضاوت های تصمیم گیرنده (DM) درباره ی راه حل های مسائل بهینه سازی فازی در یک چارچوب ازسطوح انتظار مبهم (نامعلوم) می گنجاند . فرض های ۴-۲ نشان می دهند که ویژگی

های خطی بودن ، تناسب و قطعی بودن باید به لحاظ فنی به عنوان یک شکل برنامه ریزی خطی (LP) استاندارد برآورده شوند. (کارلسون و کورهانن ۱۹۸۶ ؛ لای و هانگ ۱۹۹۲ ) . فرض (۵) برای استفاده از توابع عضویت تکه ای خطی انجام می شود ، این توابع برای ارائه همه ی اهداف فازی مورد بحث مشخص می شوند . عملگر کمینه برای جمع کردن مجموعه های فازی مورد استفاده قرار می گیرد ، و سپس مسئله ی Molp فازی اصلی را می توان به یک مدل برنامه ریزی خطی معمولی معادل تبدیل کرد که می توان آن را با استفاده از روش سسیمپلکس به طرز کارآمدی حل کرد . (هانا ۱۹۸۱؛ وانگ ولییانگ ۲۰۰۶ ؛ زایمرمان ۱۹۷۸) . فرض (۶) نشان می دهد که هزینه

های غیر مستقیم را می توان به هزینه های ثابت و هزینه های متغییر تقسیم کرد . هزینه های ثابت ، هزینه های غیر مستقیم را تحت شرایط عادی نشان می دهند و بدون توجه به مدت زمان پروژه ثابت باقی می مانند . در ضمن ، هزینه های متغیر ، که برای ارزیابی صرفه جویی ها یا افزایش ها در هزینه های غیر مستقیم متغییر به کار می روند ، مستقیما ً با تفاوت بین مدت زمان عادی و واقعی تکمیل پروژه تغییر می کنند .(لییانگ ، ۲۰۰۶؛ لییانگ ، ۲۰۰۸ ؛ وانگ و لییانگ ۲۰۰۴ a) نمادهای زیر به کار رفته اند :

(j ، i) فعالیت بین رویدادهای i ،j
هزینه های کلی پروژه
زمان کلی اتمام پروژه
هزینه های فشرده کل
زمان عادی برای فعالیت (j ، i)

زمان فشرده کمینه (حداقل) برای فعالیت (j ، i)
هزینه ی(مستقیم) عادی برای فعالیت (j ، i)

هزینه ی(مستقیم) فشرده کمینه برای فعالیت (j ، i)
هزینه های فشرده اضافی برای فعالیت (j ، i)
زمان فشرده برای فعالیت (j ، i)

مدت زمان فشرده برای فعالیت (j ، i)
زودترین زمان برای رویداد i
زودترین زمان برای رویداد j

زمان شروع پروژه
زمان اتمام پروژه
زمان اتمام پروژه تحت شرایط عادی
هزینه های غیر مستقیم ثابت تحت شرایط عادی
m هزینه های غیر مستقیم متغییر هر زمان واحد
B بودجه ی کلی

۲-۳ مدل برنامه ریزی خطی چند هدفه فازی
۱-۲-۳٫ توابع هدف
این مقاله اهداف چند گانه را برای حل مسائل تصمیم گیری PM با بررسی آثار نوشته شده در این رابطه و در نظر گرفتن موقعیت های واقعی انتخاب کرد . در اغلب تصمیمات عملی که برای حل مسائل PM اتخاذ می شوند ، باید هزینه های کلی پروژه (هزینه های مستقیم ، هزینه های غیر

مستقیم ، و هزینه های جریمۀ قراردادی ) ، زمان کل اتمام پروژه و/ یا هزینه های فشرده کل را در نظر گرفت . به نحو چشمگیری ، این اهداف به دلیل اطلاعات ناقص و غیر قابل دسترس معمولا ً فازی هستند . بنابراین ، سر تابع ِ هدف فازی که به طور همزمان طی تدوین مدل Molp فازی مورد بررسی قرار می گیرند ، به این ترتیب می باشند :
• به حداقل رساندن هزینه های کلی پروژه

که جملات + برای محاسبه ی هزینه های مستقیم کل مورد استفاده قرار می گیرند . هزینه های مستقیم کل شامل هزینه ی عادی کل و هزینه ی فشرده کل می باشند ، که با استفاده از منابع مستقیم اضافی مانند اضافه کاری ، کارکنان و تجهیزات به دست می آیند . به طور کلی ، هزینه های مستقیم اصلی ،مانند اضافه کاری ، کارکنان و تجهیزات یا به زمان فعالیت یا به زمان تکمیل

پروژه بستگی دارند ، گرچه هزینه های مواد طی افق برنامه ریزی ثابت هستند . هزینه های مستقیم کل با افزایش طول مدت پروژه افزایش می یابند . جملات هزینه ی غیر مستقیم کل ، از جمله هزینه های بخش اداری ، جرایم قراردادی ، استهلاک ، مالی و سایر هزینه های بالا سری متغییر نشان می دهند که می توان با کاهش زمان کلی اتمام پروژه ، از آنها اجتناب کرد .
• به حداقل رساندن زمان کلی اتمام پروژه
(۲)
• به حداقل رساندن هزینه ی فشرده کل
(۳)
علامت ‘ ≅ ‘ صورت (نوع) فازی شدۀ ‘ = ‘ می باشد و به فازی سازی سطوح انتظار اشاره دارد . برای هر تابع هدف در مدل اولیه Molp فازی ، این مقاله فرض می کند که تصمیم گیرنده (DM) چنین هدف فازی دارد ، ” تابع هدف باید در اصل برابر با مقداری باشد ” . در تصمیم گیری های PM دنیای واقعی ، معادلات (۳) – (۱) به طور کلی فازی هستند و تغییرات را در قضاوت های تصمیم گیرنده درباره ی راه حل های مسئله ی بهینه سازی فازی شامل می شوند .
۲-۲-۳ محدودیت ها

• محدودیت ها در زمان بین رویدادهای i،j
(4)
(5)
• محدودیت ها در زمان فشرده برای فعالیت ( i، j )
(6)
• محدودیت ها در بودجه ی کل
(۷)
• محدودیت های غیر منفی در متغییرهای تصمیم گیری
(۸)
۴- روش جواب
۱-۴٫ روش برنامه ریزی آرمانی فازی دو مرحله ای (TPFGP)
1-1-4. مرحله ی اول ( I )
در مرحله ی I ، مسئله ی اصلی ۱ Molp فازی را که در بالا طرح شد ، می توان با استفاده از مفهوم تصمیم گیری فازی ِ بلمان و زاده (Bellman , zadeh) (1970) ، همراه با روش ۲FGP هانان (Hannan) (1981) ، حل کرد .توابع عضویت تکه ای خطی برای نشان دادن تمام اهداف فازی دخیل مشخص می شوند ، و عملگر کمینه (حداقل) برای جمع کردن مجموعه های فازی انتخاب می شوند . با ارائه ی متغییر کمکی ، مسئله ی اصلی Molp فازی را می توان به یک مدل برنامه ریزی

خطی معمولی تبدیل کرد که می توان با استفاده از روش سیمپلکس آن را به طور مؤثری حل کرد . ضمیمه ی A اصل مدل LP معمولی معادل را به طور مفصل شرح می دهد . بعلاوه ،مفهوم تصمیم گیری فازی ِ بلمان و زاده (Bellman , zadeh) ، که از عملگر مینیمم برای جمع کردن همه ی مجموعه های فازی استفاده می کند ، در ضمیمه ی B ارائه شده است . بنابراین ، مدل LP معمولی معادل کامل به این ترتیب می باشد :

برنامه ریزی خطی چند هدفه : MOLP.1
برنامه ریزی آماری فازی FGP: fuzzy Goal Programming .2

معادلات (۴) – (۹)

(۹)

که متغیر کمکی رضایت کلی تصمیم گیرنده (DM) را با مقادیر آرمانی مشخص نشان می دهد . گرچه ، راه حل (جواب) بهینه که با عملگر مینیمم در مرحله ی اول به دست آمده ، ممکن است یک جواب مؤثر نباشد ، وکارایی محاسباتی راه حل های به دست آمده با عملگر مینیمم تضمین نشده است . بعلاوه ،یک روش برنامه ریزی فازی دو مرحله ای برای غلبه بر نقاط ضعف اصلی روش کمینه در مرحلۀ I ارائه می شود .
۲-۱-۴ مرحله ی دو I I
در مرحلۀ I I روش پیشنهادی TPFGP ، راه حل اولیه از آن قسمتی که با عملگر کمینه به دست آمده ، مجبور به اصلاح می باشد . این اصلاح اینگونه انجام می شود : افزودن درجات رضایت مرحله ی I، به مرحله ی دوم I I به عنوان یک محدودیت و سپس عملگر میانگین موزون جبرانی برای به دست آوردن درجه ی کلی رضایت تصمیم گیرنده . مورد استفاده قرار می گیرد . در نتیجه ، مدل (۹) را می توان دوباره به این ترتیب فرموله کرد :
(۴)

(۵)
(۶)

(۷)- (۴) : معادلات

که و به ترتیب درجه رضایت حداقل و وزن متناظر تابع هدف g اُم انتخاب شده توسط تصمیم گیرنده می باشند ، و رضایت کلی اصلاح DM را نشان می دهد .
۲-۴ روش جواب
مرحله ی ۱: مدل اولیۀ Molp را برای مسائل تصیم گیری PM چند هدفه طبق معادلات (۸) تا (۱) فرموله (تدوین کنید) .
مرحله ی ۲ : درجه (میزان) عضویت را برای چندین مقدار از هر تابع هدف مشخص کنید
.
مرحله ی ۳ : معادلات تکه ای خطی را برای هر ، با استفاده از معادله ضمیمه فرموله کنید