کاربردهای ریاضیات در علوم

از نظر تاریخی، این نیازهای علوم فیزیکی بوده است که محرک توسعه بسیاری از قسمتهای ریاضیات، به ویژه آنالیز بوده اند. گاهی اوقات مشکل است که کاربردها را از نظر ریاضی طبقه بندی کرد، چرا که ابزارهائی از چند حوزه ریاضیات ممکن است به کار گرفته شده باشند. ما روی این کاربردها نه فقط با بحث درباره طبیعت نظم (و سازماندهی) آنها متمرکز میشویم، بلکه برهمکنش آنها با ریاضیات را نیز مد نظر قرار میدهیم.

بیشتر حوزه ها در این گروه (نقاط آبی در تصویر) در مجموع با عنوان «فیزیک ریاضی» شناخته شده اند. تا اندازه ای، ابزارهای ریاضی جدیدتر و به طور پیشرونده پیچیده تر در مهندسی، زیست شناسی و علوم اجتماعی (نواحی بنفش در تصویر) به کار گرفته میشوند.
۷۰- مکانیک ذرات و سیستمها: مطالعه دینامیک مجموعه های ذرات یا توده های جامد (تو پر)، شامل توده های چرخان یا لرزان. از اصول تغییرات (انرژی-کمینه سازی) همچنین معادلات دیفرانسیل استفاده میکند.

تعادل در مکانیک آماری: سیستمهای مبادله کننده انرژی تمایل به داشتن انرژیهای مشخصی دارند که تعداد کل حالتها را بیشینه میکند
۷۴- مکانیک توده های تغییر شکل پذیر: معادلات الاستیسیته و پلاستیسیته، انتشار موج، مهندسی و حوزه هائی در جامدات ویژه مانند خاکها و بلورها را در نظر میگیرد.

مثالهای تغییر شکل کره: الف) شکل ابتدائی ب) کشش و پ) نیشگون گیری.
۷۶- مکانیک سیالات: هوا، آب و دیگر سیالات در حال حرکت را بررسی میکند؛ همچنین: تراکم، اغتشاش، نفوذ، انتشار موج و غیره. از نظر ریاضی، مطالعه حلهای معادلات دیفرانسیل شامل روشهای عددی در مقیاس بالا (برای نمونه، روش اجزای محدود) را در بر میگیرد.

Image by Bomphrey et al. (Phy. of Fluid 2002)
بررسی رفتار سیال (هوا) در اطراف یک ملخ چرخان.
تصویر از بامفری و همکاران (در مجله فیزیک سیال ۲۰۰۲).
۷۸- نورشناخت (اپتیک)، تئوری الکترومغناطیس: بررسی انتشار و تغییر شکل امواج الکترومغناطیسی شامل مباحث تداخل و پراش است. در کنار شاخه های متداول آنالیز، این حوزه مباحث هندسی مانند مسیرهای پرتوهای نوری را نیز در بر میگیرد.

انتهای رشته(فیبر)های نوری.
۸۰- ترمودینامیک کلاسیک، انتقال گرما: بررسی شارش گرما از میان ماده شامل تغییر فاز و احتراق است. از نظر تاریخی منشاء سریهای «فوریه» است.

۸۱- نظریه کوانتوم: حلهای معادله (دیفرانسیلی) شرودینگر را بررسی میکند. همچنین، شامل مباحثی از نظریه گروه Lie و نظریه گروه کوانتومی، نظریه توزیعها و مباحثی از آنالیز تابعی، مسائل یانگ-میلز، نمودارهای فاینمن و غیره میباشد.

جهان کوانتومی.

یکی از نمودارهای فاینمن که دو گلوئون مجازی به وجود آمده از برخورد پروتونهای LHC را نشان میدهد که برای تشکیل یک بوزون هیگز فرضی، یک کوآرک بالا و یک کوآرک پائین با هم برهمکنش میدهند.
۸۲- مکانیک آماری، ساختار ماده: بررسی سیستمهای ذرات در مقیاس بزرگ، شامل سیستمهای تصادفی و سیستمهای متحرک یا استنتاجی است. انواع ویژه ای از مواد شامل سیالات، بلورها، فلزات و دیگر جامدات بررسی میشوند.

تئوریهای سرعتهای واکنش، کینتیک، انتقال جرم و شیمی فیزیک همگی از مکانیک آماری استفاده میکنند.
۸۳- نظریه نسبیت و گرانش: هندسه دیفرانسیلی، آنالیز و نظریه گروه است که در فیزیک و در مقیاس بزرگ یا در مکانهای بسیار دور (یعنی سیاهچاله ها و کیهان شناسی) به کار گرفته میشوند.

آلبرت اینشتین، پایه گذار نظریه نسبیت.
۸۵- اختر شناسی و اختر فیزیک: مانند مکانیک آسمانی (سماوی)، از نظر ریاضی بخشی از مکانیک ذرات است (!). کاربردهای اصلی در این حوزه به ساختار، تکامل و برهمکنش ستارگان و کهکشانها مربوط میشوند.

تصویر ترکیبی از کهکشان M81. از: NASA/JPL-Caltech
86- زمین فیزیک (ژئوفیزیک): کاربردها نوعا ماده در مکانیک و مکانیک سیالات را همانند بالا در بر میگیرند، اما برای مسائل در مقیاس بزرگ (این موضوع یک جامد بسیار بزرگ و استخر بزرگی از سیال را در نظر میگیرد!).
۹۳- نظریه سیستمها، کنترل: تغییر در طول زمان سیستمهای پیچیده را بررسی میکند؛ مانند سیستمهائی که در مهندسی وجود دارند. به ویژه، میتواند برای شناخت سیستم-تعیین معادلات یا مشخصه هائی که بر توسعه آن حاکمند- یا برای کنترل سیستم–برای انتخاب مشخصه ها (یعنی از طریق حلقه های بازخورد)- برای رسیدن به یک حالت مطلوب امتحان شود. از موارد ویژه میتوان به موضوعاتی در پایداری (آرایشهای حالت پایدار) و اثرات تغییرات تصادفی و نویز (سیستمهای تصادفی) اشاره کرد. تا زمانیکه قلمرو «فرمان شناسی (سیبرنتیک)» یا «رباتیک» محبوبند، شاید بتوان این را در عمل میدانی از کاربرد معادلات دیفرانسیل (یا تفاضلی) آنالیز تابعی، آنالیز عددی و آنالیز جهانی (یا هندسه دیفرانسیل) به شمار آورد.
۹۲- زیست شناسی و دیگر علوم طبیعی: وابستگیهائی که شایسته عنوان وابستگی آشکار هستند شامل شیمی، زیست شناسی، زنتیک و پزشکی هستند. واضح است که در شیمی و بیوشیمی نظریه گراف، هندسه دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل نقش ایفاء میکنند. فناوری پزشکی از تکنیکهای انتقال و به نمایش درآوردن اطلاعات بهره میبرد. زیست شناسی (شامل دانش رده بندی «تاکسونومی» و زیست-باستانشناسی) از استنتاج آماری و دیگر ابزارها استفاده میکنند.
۹۱- نظریه بازی، اقتصاد، علوم اجنماعی و رفتاری: شامل روانشناسی، جامعه شناسی و دیگر علوم اجتماعی به عنوان یک گروه است. بیشتر علوم رفتاری (شامل زبانشناسی!) آمیخته ای از تکنیکهای آماری شامل طراحی تجربی و دیگر مباحث ترکیبی را مورد استفاده قرار میدهند. اقتصاد و دارائی نیز از ابزارهای آماری به خصوص آنالیز سریهای زمانی استفاده میکنند. چند مبحث مانند

نظریه رأی دهی بیشتر ترکیبی هستند. این طبقه بندی نیز شامل نظریه بازی است که در واقع اصلا درباره بازیها نیست بلکه درباره بهینه سازی است که ترکیب راهبردهائی را در نظر میگیرد که به یک خروجی بهینه منجر شود (ناحیه ۹۱ در نقشه ریاضی نشان داده نشده است؛ این ناحیه در سال ۲۰۰۰ از قسمتهائی از بخشهای ۹۰ و ۹۲ به وجود آمد).

مشاهده میکنید که شاخه های ریاضیات خیلی به حوزه های فیزیک ریاضی و بخشهائی از آنالیز، به خصوص آن بخشهائی که به معادلات دیفرانسیل مربوطند، پیوستگی دارند. علوم دیگر به اینها و همچنین احتمال و آمار و به طور فزاینده، روشهای عددی متصل میشوند.