کاربرد الگوریتم ژنتیکی سازگار یافته برای مسائل دینامیکی چند هدفه

خلاصه :
این مقاله یک الگوریتم ژنتیکی سازگار (AGA) را همراه با تابع لیاقت دینامیکی، برای مسائل چند هدفه (MOPs) در محیط دینامیکی تشریح می کند. به منظور دیدن اجرای الگوریتم، این روش برای دو نوع از مسائل MOPs بکار گرفته شده است. اولا این روش برای پیدا کردن آرايش نيروهای نظامی برای شبیه سازی رزمی بکار گرفته شده است. این مقاله در مورد چهار تابع هدف بحث می کند که باید بهینه شوند و یک واسطه فازی را ارئه می دهد که طرح جامعی را از چهار تابع هدف می

سازد. دومین واسطه فازی برای کنترل نرخ عملکردهای تقاطع (Crossover) و جهش (Mutat

ion) بکار گرفته می شود که بر اساس خواص آماری لیاقت (Fitness) جامع می باشد.
علاوه بر مسئله آرايش نيروهای نظامی یک مثال ساده از بهینه سازی چند هدفه که توسط فرینا و همکارانش گشته نیز ارائه شده است و توسط این الگوریتم پیشنهادی حل شده است. نتایج بدست آمده در اینجا نشان می دهد که الگوریتم ژنتیکی افزایش یافته، نسبت به الگوریتم ژنتیکی معمولی، عملکرد بهتری در مورد همگرائی دارد.
کلمات کلیدی:
الگوریتم ژنتیکی سازگار یافته ، منطق فازی ، آرايش نيروهای نظامی ، شبیه سازی رزمی و ب

هینه سازی چند هدفه .
۱- مقدمه
بدیهی است که حالتهای متعددی برای مسائل عملی بهینه سازی وجود دارد که در ابتدا، بهینه سازی چندین اندازه گیری اجرا (MOP) یا محک ، غیر قابل اجتناب است و این اندازه گیری ها ممکن است که با هم تداخل هم داشته باشند. مسائل مربوط به MOPsمی توانند استاتیکی یا دینامیکی باشند. مهمترین موضوع در حل این گونه از مسائل عبارت از مشخص کردن توابع هدف طراحی، برای اینکه خوبی (Goodness) یک حل مشخص بر آورد شود. در مسائل MOPs بجای یک حل بهینه ، یک مجموعه از حل های بهینه ( مجموعه بهینه پارتو )، بسته به وجود چند تابع هدف، رخ می دهد. بدون تنزل یکی از جوابها ، هیچ بهبودی برای هر یک از حلهای بهینه پارتو وجود ندارد. هیچ حل پارتو نمی تواند از حل دیگری بهتر باشد مگر اطلاعات بیشتری را در اختیار داشته باشیم . برای اینکه انتخاب نهایی بهتری داشته باشیم ، بهترین راه این است که تا جایی که ممکن است حلهای مختلف بهینه پارتو را بدست آوریم.
در بعضی از کاربردهای جهانی نظیر حمل ونقل باربا روباتها ، مشخص کردن مدل و طراحی کنترل کننده ها ، مسائل محیطی و نیازهای MOPs بصورت دینامیکی تغییر می کنند و برای اینگونه کاربردها ، بهینه سازی چند هدفه وابسته به زمان، نیاز است . در این گونه از مسائل ، توابع هدف مربوطه و قیود و پارامترهای مسئله یا همه اینها، ممکن است لحظه به لحظه تغییر کنند. این گونه از مسائل MOPs دینامیکی نامیده می شوند. در این حالتها ، بهینه سازی تابع باید در بازه های زمانی خیلی محدود شده انجام پذیرد.

الگوریتمهای ژنتیکی معمولا بهترین وسیله جستجو در فضاهای بزرگ در طی یک زمان قابل قبول می باشند و نیازی به تحدب، تقعر و یا پیوستگی توابع بهینه ندارند. این موضوع منجر به دامنه وسیعی از کاربردها برای این الگوریتم در مسائل بهینه سازی بزرگ درگستره های مختلف می گردد مانند تحلیل سریع تاکتیکهای جنگی برای دفاع و حلهای انعطاف پذیر برای مدیریت زنجیره ای. این انواع مسائل پیچیده معمولا شامل آشوبناکی ، اتفاقی و مسائل دینامیکی پیچیده غیر خطی می شوند. غیر ممکن است که این طیف از مسائل را بتوان با روش قدیمی الگوریتم ژنتیکی حل نمود.

الگوریتمهای ژنتیکی، تحلیل مجموعه ها را بصورت موازی انجام می دهند و تشابه این حلها را توسط ترکیب آنها برجسته می کنند. این موضوع باید تذکر داده شود که از آن جا که این گونه الگوریتمها تعداد زیادی از حلها را در مجموعه های بهینه پارتو پیدا می کنند، برای حل مسائل چند هدفه بسیار خوب می باشند . به هر حال، در الگوریتم ژنتیکی ساده، پارامترهای ثابت، مستقیما اجرای الگوریتم را تحت تاثیر قرار می دهند. معمولا پارامترهای بدون آهنگ منجر به مسائل متعددی نظیر همگرایی زودرس می شوند. بنابراین تعدادی از تکنیک های سازگار یافته برای این گونه از پارامتره

ا پیشنهاد شده است. همانند جهش احتمالاتی ، تقاطع احتمالاتی ، اندازه جمعیت [۱] و ]۲[ و عملکرد تقاطع ]۳[.
یکی از مهمترین راهبردها برای مسائل بهینه سازی چند هدفه ، الگوریتم ژنتیکی چند هدفه (MOGA) می باشد. مطالعات زیادی در مورد MOGA در منابع موجود می باشد [۵]، [۶]، [۷]، [۹]، [۱۰]، [۱۱]، [۱۲]، [۱۳]، [۱۴]، [۱۵]، [۱۶]، [۱۷]، [۱۸]، [۱۹]، [۲۰].
مخصوصا دب (Deb) [20] یک MOGA عالی را ارائه داده است . یک الگوریتم ژنتیکی با بر آورد برداری (VEGA) [9] نسبت به یک الگوریتم ژنتیکی ساده متفاوت می باشد چون در این روش جدید، از یک عملگرا انتخاب اصلاح شده استفاده می شود و در هر نسل، تعدادی از زیر جمعیتها توسط اجرای انتخاب خطی تولید می شوند. مهمترین نقص این روش آن است که قادر به تولید

حلهای بهینه پارتو برای فضاهای جستجویی غیر محدب نمی باشد. در تکنیک مرتبه لغت نویسی (lexicographic ordering ) [14]، حلهای طراح مرتبه ها، بر اساس خواص مهم توابع می باشد. سپس حل بهینه توسط مینیم سازی توابع هدف بدست می آید که بر اساس مهم بودن آنها، از مهمترین آنها شروع می شود. مهمترین ضعف این روش این است که ممکن است منجر به بدست آوردن توابع هدف جانبدارانه شود و این موضوع ممکن است باعث بدست آمدن یک سری از توابع هدفی گردد که باعث ازدیاد توابع هدف و اتفاقی بودن آنها ، هنگام انجام فرایند بهینه سازی شود.

الگوریتم ژنتیکی هاجِلا و لین (HLGA) از روش مجموع وزن دار برای انتصابها استفاده می کند. ضرایب وزنی در هر تابع هدف، درکروموزمها نهفته می باشد. واگرایی ترکیب وزنها توسط روش Phenotypic fitness sharing ارتقا داده می شود و الگوریتم ژنتیکی بصورت همزمان، حلها و ترکیب وزنی ها را تکامل می بخشد. این روش دارای مزیتهای بخصوصی است : این روش دارای کارایی کامپیوتری خوبی است، و حلهای غیر غالب ( غیر مشرف) را بصورت قوی تولید می کند. هر چند برای مشخص کردن وزنهای مناسب در این روش به راحتی نمی توان از بهینه سازی جعبه سیاه (black – box) استفاده نمود که هیچ دانسته ای را در مورد دامنه نیاز ندارند. الگوریتم ژنتیکی مرتب کردن غیر مشرف (NSGA)، [۱۱] بر اساس کلاس بندی لایه ها برای افراد می باشد. قبل از اینکه مکانیزم انتخاب اجرا شود ، جمعیت بر اساس غیر مشرف بودن مرتب می شود بدین صورت که همه افراد در یک گروه دسته بندی می شوند. ( با یک تعداد لیاقت فرضی که متناسب با اندازه جمعیت است ). برای باقی ماندن واگرایی جمعیت، این کلاس افراد با مقدار لیاقت فرضی آنها شریک می شود . سپس این گروه از افراد کلاس بندی شده در نظر گرفته نمی شوند و لایه بعدیِ افراد غیر مشرف فرض می شود. این فرایند ادامه می یابد تا تمام افراد داخل جمعیت، کلاس بندی شوند. زیتزِلر و تیل، روش Strength Pareto (SPEA) [16] را گسترش دادند. در این الگوریتم، چندین خاصیت مطلوبِ توابع چند هدفه EA اولیه ترکیب می شوند که این خواص نظیر ارتقاء پیوسته جمعیت، نگهداری واگراییِ جمعیت و بر آورد لیاقت افراد می باشند. روشهای SPEA ، PAES [18] و NSGAII [19] بر اساس حلهای پارتو می باشند که در آنها اندازه گیری لیاقت افراد بر اساس

خواص مشرفی آنها می باشد. افراد غیر مشرف در داخل جمعیت، بعنوان لایق ترین افراد در نظر گرفته می شوند و افراد مشرف بعنوان کمترین مقدار لیاقت فرض می شوند . روش PAES یکی از روشهای MOGA است که از استراتژی یک والد و یک فرزند استفاده می کند. در روش NSGA، در هرتکثیر نسل، اپراتورهای تقاطع و جهش برای تولید فرزندی استفاده می شوند که تا حد ممکن در داخل نسل والدها باشد.

بهینه سازی چند هدفه بصورت گسترده ای در مراجع مختلف مورد مطالعه قرار گرفته است. اما مطالعات مربوط بهینه سازی چند هدفه دینامیکی (DMO) خیلی کم می باشد و در مراجع [۲۱] و [۲۲] به آن پرداخته شده است : در مرجع [۲۱] پنج مسئله بهینه سازی دینامیکی چند هدفه با پیچیدگیهای مختلف ( از قبیل محدب بودن ، پیوسته نبودن و وابسته بودن به زمان ) ارائه شده است و یک روش پایه ای جستجوی مستقیم در آن مرجع برای هر پنج نوع مسئله بکار گرفته شده است . فرینا و همکارانش در مرجع [۲۱] بیان نموده اند که الگوریتمهای بهینه سازی دینامیکی چند هدفه تکاملیِ کارایی برای اجرای خوب، مورد نیاز است و مطالعات شبیه سازیهای سخت گیرانه ای نیز لازم است.
۱-۱- معرفی ها
یک بهینه سازی چند هدفه با قیود نامساوی می تواند به زبان ریاضی توسط یک تابع برداری f معرفی شود که یک مجموعه از m پارامتر ( متغیر های تصمیم گیری ) را به n تابع هدف می نگارد . این موضوع می تواند مانند زیر بیان شود.

Y=f(x)=(f1(x),f2(x),f3(x),f4(x))

 

که x عبارت است از مجموعه بردارهای تصمیم گیری و X عبارت است از فضای پارامترها و y نیز بردار هدف می باشد و Y فضای تابع هدف است. حقیقت مورد ملاحظه در مورد این گونه حلها این است که هنگامی که تمام توابع هدف در نظر گرفته شوند، هیچ کدام از حلها در فضای جستجو نسبت به بقیه برتری ندارد. مجموعه حلهای یک مسئله بهینه سازی چند هدفه تشکیل شده است از همه پارامترهای تصمیم گیری بنحوی که بردارهای هدف آنها نتوانند بدون تنزلِ بقیه، بهبود یابند. یک چنین حلهایی، حلهای بهینه پارِتو نامیده می شوند. یک حل بهینه پارتو یکتا نیست اما عضوی از مجموعه نقطه هایی می باشد که هر کدام به تنهایی و با درنظرگرفتن بردارهدف، خوب می باشد.

 

۲-۱- نسبت دهی لیاقت و ماندگاری واگرایی
نسبت دهی لیاقت و استراتژی ماندگاری واگرایی، دو موضوع مهم در MOPs می باشند. برای نسبت دهی لیاقت، تعداد زیادی MOGA می توانند در دو گروه رده بندی کرد که عبارتند از حلهای پارتو و حلهای غیر پارتو. روشهای غیر پارتو [۹]، [۱۰]، [۱۳] مستقیما از مقادیر تابع هدف برای تصمیم گیری برای باقی ماندن یا حذف شدن افراد استفاده می کنند. در حالی که روشهای پارتو [۶]، [۱۱]، [۱۶]، [۱۸]، [۱۹] لیاقت یک فرد را در رابطه با خواص مشرف بودن آن اندازه گیری می کنند. افراد غیر مشرف در جمعیت، بعنوان افراد با لیاقت بالاترین در نظر گرفته می شوند و افراد مشرف بعنوان افراد با لیاقت کمترین فرض می شوند.
یکی دیگر از مشخصه های MOGAs ها عبارت است ازاستراتژی ماندگاری واگرایی. این موضوع باعث می شودکه حلها بصورت خیلی یکنواخت در تمام مجموعه بهینه پارتو پخش شوند بجای اینکه در یک ناحیه کوچک مجتمع شوند. به اشتراک گذاشتن، لیاقت افرادی که کاندیدای یک لیاقت باشند را کم می کند و یکی از تکنیکهای خیلی جدید می باشد . اخیرا بعضی از تکنیکهای مستقل از پارامتر نظیر SPEA و NSGA نیز پیشنهاد شده اند. در این مطالعه، یک تکنیک مبتنی بر منطق

فازی برای انجام بهتر نسبت دهی لیاقت و ماندگاری واگرایی بکار گرفته شده است.
روشهای قدیمی نظیر روش مجموع وزنها یا روش قیدهای [۴] در هر بار اجراء فقط می توانند یک حل بهینه پارتو را پیدا کنند. همچنین این روشها وابسته به مسئله مورد حل می باشند و ممکن است ساده سازیهای بسیار زیادی را انجام دهند. در اکثر برنامه های بازیها، لیاقت استاتیکی زیر برای پیدا کردن جهت جستجو بکار برده می شود.

نشان می دهند. مشخص کردن این feature ها و وزنها برای یک جستجوی کار آمد در یک مسئله بهینه سازی چند هدفه بسیار مهم می باشند. انتخاب وزنها در یک فضای دینامیکی چند معیاری سخت می باشد و انتصاب مقادیر وزنها اغلب بصورت سعی و خطا انجام می گیرد . این فرایند بسیار زمانبر می باشد. به منظور غالب آمدن بر مشکل بالا ، یک تابع لیاقت با پایه منطق فازی مورد استفاده قرار می گیرد. بهینه سازی به روش فازی بجای اینکه بر یک مدل ریاضی بنا شود بر یک مدل فازی بنا می شود. مهمترین مزیت های این روش بهینه سازی این است که توابع هدف فازی، ماهيت غیر قابل دیفرانسیل گیری دارند و نظریه مجموعه های فازی یک روش بسیار جذاب را برای جداسازی اطلاعات از داده های نا مشخص دینامیکی و غیر مدل شده بدست می دهد. تابع لیاقت دینامیکی زیر برای بدست آوردن وزنهای هدف در منطق فازی بکار می رود.

که ها تابع عضویت هستند که از مشخصه های fi (feature)می باشند.

۳-۱- توضیح صورت مسئله
نرم افزار THUNDER یک نرم افزار خیلی بزرگ شبیه سازی مدل است که بر اساس شبیه سازی مونت کارلو کار می کند. این نرم افزار یک نرم افزار شبیه سازی تئوری اتفاقی دو طرفه از کارهای نظامی می باشد که توسط System Simulation Solution Inc(531) برای مطالعات مربوط به نیروی هوائی و آژانسهای تحلیل (AFSAA) نوشته شده است. این نرم افزار می تواند تقریبا ۲۵ ماموریت هوایی را که شامل ماموریت های هوا به زمین ، هوا به هوا، دفاع هوایی، جاسوسی، موشکهای بالستیک ضد تاکتیکی و سوخت گیری هوایی می باشد را انجام دهد. این نرم افزار به صورت خود کار، پیشروی ها و حرکتهای نظامی را توضیح می دهد و بر اساس یک پایه قانونمند اجرای نقش می کند. این نرم افزار، یک پشتیبان کار آمد برای تحلیلهای است که شامل اثرهای انتگرالی بر روی حوزه فضا و زمان می باشند. این موضوع شامل توزیع خود کار تهدیدها و هدفها، تعداد هدفهای کشته شده، پیشروی زمینی و آرایش ارتشی است. این شبیه سازی، همچنین قیودی را بر مسائلی نظیر نرخ پروازهای هوایی کوتاه و مکان ماموریتها اعمال می کند.

مهمترین هدف این تحقیق این بود که چگونه نیروهای نظامی آرایش داده شوند که این کار توسط الگوریتم ژنتیکی سازگار و با وزنهای ارتقاء یافته انجام گرفت. دلیل اینکه چرا الگوریتم ژنتیکی برای تعیین آرایش نظامی نیروها و شبیه سازی جنگ بکار گرفته شده این بود که اینگونه الگوریتمها یک فرایند جستجوی پایدار را برای انواع مختلفی از توابع که دارای غیر پیوستگی، چند مودی، تعداد بعد زیاد، فضا جستجو بزرگ و نویز، در اختیار قرار می دهند. شبیه سازی با در نظر گرفتن نویزهای داخلی شناخته نشده و عدم پیوستگی انجام می شود. الگوریتم ژنتیکی سازگار یافته که شامل قابلیت تغییر دادنِ به هنگام وزنها را داشته باشد برای انجام استراتژی های مختلف در حالتهای

ی دارد و باید بتواند به مرور زمان تغییر کند.

۲- بهینه سازی چند هدفه
۲-۱- توضیح در مورد فرمولبندی مسئله
موقعیت های جنگی که بر اساس قابلیتهای نیروهای تهدید کننده، شرایط جنگ و قابلیت نیروهای خودی مشخص می شوند تماما می توانند توسط نرم افزار THUNDER شبیه سازی شوند. فایل مشخصات جنگی معمولا توسط کاربر داده می شود. این موقعیت های جنگی مستقیما توسط

عقیده و نظر یک تحلیل گر مشخص می شود و وظیفه بسیار وقتگیری نیز می باشد. این موضوع همیشه باعث تولید نتایج مستحکمی نمی شود چون خبرگی نرم افزار نمی تواند مسائل دینامیکی و اتفاقی ناشناخته را در شبیه سازی درک کند. این موضوع باعث این می شود که رابطه های بین ورودیها و خروجیهای THUNDER به خوبی درک نشود. هر موقعیت جنگی نیاز به خصوصیات خود را دارد. بعنوان یک مثال در این مطالعه ، فقط ۴ موقعیت جنگی و ۱۵ روز جنگ بعنوان ورودی استفاده

شده است. موقعیتهای در نظر گرفته شده عبارتند از بی اثر کردن حمله متخاصم هوایی استراتژیک (OCA) محجور کردن هدف استراتژیک (STI) محجور کردن وسیع هوایی (DSEAD). موقعیتهای (OCA) و (STI) و (INI)، موقعیتهای هوا به زمین می باشند. OCA در مقابل Airbase و موقعیت INI در مقابل واحد های متحرک بر روی شبکه و در پادگان، آسان کردk عملیات لوجسیتکی، شبکه هایِ ترابری، نقاط مورد بازرسی و دفاع هوایی پیچیده می باشد. موقعیت STI در مقابل هدفهای استراتژیک می باشد. موقعیت DSEAD یک موقعیت باز دارنده برای ارتش دفاع هوایی است و در مقابل سایتهای هوایی انجام می گیرد. نرم افزار THUNDER می توان با دید یک بازی دو نفره دیده شود که رنگ آبی نشان دهنده طرف خودی و رنگ قرمز نشان دهنده طرف دشمن است . با توجه به این توضیحات توابع هدف ما چنین خواهند بود.
۱- مینمم کردن زمینهایی که طرف آبی از دست می دهد

۲- مینمم کردن از بین رفتن هواپیماهای طرف آبی
۳- ماکزیمم کردن تعداد کشته های هدفهای استراتژیک طرف قرمز
۴- ماکزیمم کردن تعداد کشته های طرف قرمز
موارد گفته شده یک حالت عمومی برای مسائل بهینه سازی چند هدفه می باشند زیرا منظورمان بهینه کردن چهار تابع هدف بالا بصورت همزمان می باشد. خروجیهای نرم افزار THUNDER (زمینهای از دست رفته هواپیماهای از دست رفته تعداد کشته های هدف استراتژیک و تعداد کشته های طرف دشمن) با یک امتیاز مینیمم و یک امتیاز ماکزیمم، مقدار دهی می شوند. این

مقادیر ماکزیمم و مینیمم می تواند ۲ و ۱ باشد. مقادیر بین این دو عدد می توانند با میان یابی بین بهترین حالت و بدترین حالت مشخص شوند که نیازمند اطلاعات مجربی می باشد.

۲-۲- الگوریتم ژنتیکی قرار دادی ما تابع لیاقت وزنی استاتیک
در ابتدا، این مسئله بهینه سازی چند هدفه به یک شکل مفید برای استفاده مستقیم از الگوریتم ژنتیکی تبدیل می شود که بتواند از تابع لیاقت استاتیکی استفاده کند. تابع لیاقت پایه مربعی

مورد استفاده قرار گرفت چون در مقایسه با دیگر توابع لیاقت فرض شده، نتایج بهتری را بدست می دهد.

که F عبارت است از نمره لیاقت نهایی ،f1 نمره فردی از دست دادن زمین ، f¬۲ نمره فردی برای کشته های استراتژیک طرف قرمز ،f3 نمره فردی به کشته های (افراد درجه دار ) طرف قرمز و f4 نمره فردی مربوط به هواپیماهای از دست رفته طرف آبی است. ورودیهای f1 و f2 برای تابع لیاقت از لحاظ وزنی متفاوت بودند تا خواص متفاوتی را به تابع هدف بدهند. به منظور مطالعه اثرات نمرات بر روی تابع لیاقت، چهار تابع مختلف لیاقت مورد استفاده قرار گرفت. توابع هدف one- low-ptioring ,one-high-prioring بصورت زیر مورد استفاده قرار گرفت.

این توابع لیاقت توسط پارامترهای مربوط به الگوریتم ژنتیکی زیر مورد آزمایش قرار گرفت: .N=50( اندازه جمعیت )

PC= 7/0 ( اندازه احتمالاتی تقاطع )
PM 02/0 ( اندازه احتمالاتی جهش )
مقدار لیاقت برای چهار تابع لیاقت در شکل ۱ نشان داده شده است . در سه حالت F1 و F2 و F3 مقدار لیاقت بعد از ۲۰ نسل به مقدار ماکزیمم می رسد اما در حالت F3 رسیدن به ماکزیمم بعد از ۴۰ نسل رخ می دهد.

Fig. 1. Four different weighted fitness functions.
همانگونه که می توان از شکل ۱ ملاحظه نمود همه توابع لیاقت، مشخصه های مختلفی را از خود نشان می دهند. تعدادی از آنها به سرعت به مقدار ماکزیمم همگرا می شوند اما این مقدار ماکزیمم خیلی بالا نیست . F2 خیلی زود همگرا می شود اما مقداری که به آن همگرا شده است چندان مطلوب به نظر نمی رسد. همچنین توابع هدفtwo- high- priority و two- low-priority نیز بهینه شده اند برای اینکه اثر این توابع هدف بر روی مقدار لیاقت دیده شود. این توابع بصورت زیر می باشند.

مقادیر لیاقت برای توابع لیاقت بالا در شکل شماره ۲ نشان داده شده است. از روی شکل دیده می شود که مقادیر لیاقت خیلی به وزنها و نمره های فردی وابسته است که به مرور زمان تغییر می کند. در تمام حالتهای بالا یک الگوریتم ژنتیکی با تابع لیاقت وزنی استاتیک نمی تواند مقادیر لیاقت ماکزیمم پایداری را تولید کند چون هر نمره فردی تابعی از زمان است . بنابراین یک الگوریتم ژنتیکی با تابع وزنی متغییر برای بهینه سازی بهتر مورد نیاز است.

Fig. 2. Two different weighted fitness functions.

۳-۲- الگوریتم ژنتیکی سازگاری یافته با تابع لیاقت وزنی قانونمند
برای بررسی اینکه الگوریتم ژنتیکی سازگاری یافته چگونه می تواند مسئله مورد نظر ما را انجام دهد روشی با تابع لیاقت وزنی فازی که مطابق زیر آمده است بکار گرفته شده است که این مقادیر، سیستم پیشرو بهینه پارتو می باشد.

مسئله مورد نظر توسط فرینا و همکارانش در [۲۱] در نظر گرفته شده است.در اینجا r شمارنده تعداد نسلها می باشد، Tt تعداد نسلها می باشد برای حالتی که t ثابت بماند، و nt تعداد مراحل مختلف در t می باشد. مقادیر پارامتری n=20 ،Tt=5 و nt=10 در [۲۱] پیشنهاد شده اند.
شکل ۳ نشان می دهد که چگونه دو متغیر اولی حل در یک زمان مشخص تغییر می کند . مقادیر مربوطه تابع هدف در شکل ۴ نمایش داده شده است.