سپيده دم رياضيات جديد

لگاريتم:
همچنانكه امروزه مي دانيم قدرت لگاريتم به عنوان يك ابزار محاسباتي در اين حقيقت نهفته است كه ضرب و تقسيم به كمك آن به اعمال ساده تر جمع و تفريق تحويل مي شوند.
نشانه اي از اين ايده در فرمول كه در زمان نپر كاملاً شناخته شده بوده پيدا شد و كاملاً محتمل است كه خط فكري نپر با اين فرمول شروع شده است چه در غير اين صورت تعيين محدود كردن لگاريتمها به لگاريتم سينوس زوايا توسط وي مشكل است. نپر حداقل به مدت ۲۰ سال بر روي نظرية خودكار كار كرد و منشاء انديشة هر چه باشد، تعريف نهايي او از لگاريتم چنين است پاره خطي مانند AB و نيمه خطي مانند DE، به صورتي كه در شكل ۱ نشان داده شده در نظر بگيريد.
فرض كنيد كه نقاط F,C همزمان بترتيب از نقاط B,A در امتداد اين خطوط با سرعت ادامة واحدي شروع به حركت نمايند. فرض كنيد C با سرعتي كه از نظر عدد برابر با فاصلة CB است حركت كند و سرعت حركت F يكنواخت باشد در اين صورت نپر DF را به عنوان لگاريتم CB تعريف مي كند يعني، با قراردادن CB=y , DF=x.

 

شكل ۱
X=Naplogy
براي احتراز از مزاحمت كسرها نپر طول AB را به اختيار كرد زيرا بهترين جداول سينوسي كه در دسترس وي بود تا هفت رقم اعشار بسط پيدا مي كردند. از تعريف نپر و از طريق استفاده از معلوماتي كه در دسترس نپر نبود چنين نتيجه مي شود كه

لذا اين بيان مكرر گفته شده كه لگاريتمهاي نپري لگاريتم هاي طبيعي هستند در و

اقع بي اساس است. مشاهده مي شود كه لگاريتم نپري با افزايش عدد، كاهش مي يابد. بر خلاف آنچه در مورد لگاريتم هاي طبيعي اتفاق مي افتد بعلاوه آشكار مي شود كه، در دوره هاي مساوي متوالي از زمان، y مطابق يك تصاعد هندسي كاهش پيدا مي كند در حالي كه x مطابق يك تصاعد حسابي افزايش مي يابد.
بنابراين، اصل بيناني دستگاه لگاريتم ها يعني ارتباط بن يك تصاعد هندسي و يك تصاعد حسابي را داريم حال، براي مثال نتيجه مي شود كه اگر آنگاه:
Naploga –Naplogb=Naplogc-Naplgd
كه يكي از نتايج متعددي است كه به وسيله ي نپر برقرار شده است.
نپر بحث خود درباري لگاريتم ها را رد ۱۴۱۳ در رساله اي تحت عنوان شرح قانون شگف انگيز لگاريتم ها منتشر كرد. اين اثر حاوي جدولي است كه لگاريتم سينوس زوايا را براي دقيقه هاي متوالي يك كمان مي دهد رساله شرح علاقه فوري و گسترده اي را بر انگيخت و در سال بعد از انتشار آن هنري بريگز (۱۵۶۱-۱۶۳۱) استاده هندسه در كالج گرشام در لندن و بعداً استاد در آكسفورد به ادينبورو سفر كرد تا مراتب احترام خود را به مخترع كبير لگاريتم ها ادامه كند. در ضمن اين ملاقات بود كه نپر و بريگنير به اين توافق رسيدند كه جداوال در چنان تبديل كه لگاريتم ۱ ماه و لگاريتم ۱۰ هر توان مناسبي از ۱۰ مي شود مفيدتر خواهد بود بدين ترتيب لگاريتم امروزي بريگزي يا متعارفي تكوين يافت اين گونه لگاريتم ها، كه اساساً لگاريتم هاي در مبناي ۱۰ مي باشند كارآيي برتر خود را در محاسبات عددي مرهون اين حقيقت هستند كه دستگاه شمار مانيز در مبناي ۱۰ است. براي دستگاه شماري كه پايه ديگري مانند b داشته باشد، البته، به منظور محاسبات عددي مناسبتر خواهد بود كه جداول لگاريتم نيز در مبناي b باشند.
بريگز همه ي توان خود را در راه ساختن جدولي بر پاية طرح جديد وقف كرد و در ۱۶۲۴ حساب لگاريتم خود را كه شامل يك جدول ۱۴ رقمي از اعداد از ۱ تا ۲۰۰۰۰ و از ۹۰۰۰۰ تا ۱۰۰۰۰۰ بود منتشر كرد. مشكاف از ۲۰۰۰۰ تا ۵۰۰۰۰ بعداً به كمك آدريان ولاك (۱۶۰۰-۱۶۶۶) كتاب فروش و ناشر هلندي پر شد در ۱۶۲۰ ادمونه گانته (۱۵۸۱-۱۶۲۶) يكي از همكاران بريگز، يك جدول هفت رقمي از لگاريتم هاي متعارفي سينوس و تانژانت زوايا براي فواصل قوسي يك دقيقه منتشر نمود. گانته بود كه واژه هاي كسينوس و كتانژانت را ابداع كرد، مهندسان وي را به خاطر «زنجير گانته» شناختند.
بريگز و ولاك چهار جدول بنيادي لگاريتم ها را منتشر نمودند كه تنها در همين اواخر وقتي، در بين ۱۹۲۴ و ۱۹۴۹ جداوال جامع ۲۰ رقمي در انگلستان به عنوان جزئي از جشن سيصدمين سال كشف لگاريتم محاسبه شد كنار گذاشته شدند.
كلمة لگاريتم به معني «عدد نسبت» است و توسط نپر، بعد از آنكه بدواً از اصطلاح عدد ساختگي استفاده كرد اتخاذ گرديد. بريگز كلمه ي مانيتس را كه كلمه لاتيني از ريشه اتروسكي است، معمول كرد كه در اصل به معني «جمع» يا «پارسنگ» بوده و در ولاك به كار افت عجيب است كه در جدول اولية لگاريتم هاي متعارفي رسم اين بود كه مانيتس را نيز مانند مفسر چاپ كنند، و از قرن هجدهم به بعد هم بود كه رسم فعلي چاپ، مانتيسها به تنهايي، متداول

گرديد.
اختراع شگفت انگيز پز بگرمي در سرتاسر اروپا مورد استقبال واقع شد. در نجوم بويژه زبان براي چنان اكتشافي بسيار آماده بود بنابه اظهار لاپلاس، اختراع لگاريتم ها «با كوتاه كردن زحمات، عمر منجمين را دو برابر كرد» بونانتوراكاواليري تلاش زيادي براي متداول نمودن لگاريتم ها در ايتاليا به عمل آورد. خدمت مشابهي را يوهان كپكر در آلمان و ادموند وينگبيت درفرانسه انجام دادند. وينگيبت، كه سالها زيادي را در فرانسه گذارند به صورت برجسته ترين نويسنده انگليسي كتابهاي درسي در حساب مقدماتي درآمد.
تنها رقيب نپر در پيشقدمي در اختراع لگاريتم يوبت بورگي (۱۵۵۲-۱۶۳۲) ابزار ساز سويسي بود بورگي جدولي از لگاريتم هاي را مستقل از نپر به تصور درآورده و آنرا ساخت و نتايج كارهاي خود را در ۱۶۲۰ شش سال بعد از اينكه نپر كشف خود را به جهانيان اعلام كرده بود منتشر نمود. گر چه هر دوي آنان ايدة لگاريتم را مدتها قبل از انتشار در ذهن پروانده بود عموماً اعتقاد بر اين است كه اين ايده اول بار به ذهن نپر راه يافته بود. روش نپر هندسي بود در حالي كه روش بورگي جبري بود امروزه لگاريتم به عنوان يك نما تلقي مي شود مثلاً اگر را لگاريتم b گوييم. از اين تعريف، قوانين لگاريتم بلافاصله پيش از به كاربردن نماهات. در سال ۱۹۷۱ نيكاراكوئه يك سري تمبر پستي در اكرام از «ده تا از مهمترين فرمولهاي رياضي» دنيا منتشر نمود. طرح هر تمبر يك فرمول ويژه تاريخي همراه با يك تصوير است در پشت آن گفتار كوتاهي به زبان اسپانيايي در رابطه با اهميت اين فرمول آمده است. يكي از تمبرها به كشف لگاريتم به دت نپر اختصاص داده شده است. براي دانشمندان «رياضيدانان بايد اسباب خوشحالي باشد كه فرمولهاي خود را در اين گونه مورد بزرگداشت ببيند. زيرا اين فرمولها سهمي بس بيشتر از كارهاي شاهان و فرماندهان نظامي در پيشرفت بشريت داشته اند و تمبرهايي پستي اغلب سيماي اينان را در بر دارد.
سالها بود كه محاسبه لگارتيم در دروس رياضي اواخر دبيرستان يا اوايل كالج درس داده مي شود و همچنين طي سالها خط كش محاسبه لگاريتمي كه در قالب چرمي زيبايي از كمر آويخته مي شد. نشان تشخيص دانشجويان مهندسي دانشگاه ها بود. با اين حال، امروزه با ظهور ماشين حسابهاي جيبي كوچك جالب و با قيمت هاي رو به كاهش، كسي استفاده از جدول لگاريتم يا خط كش محاسبه را در محاسبات عاقلانه نخواهد داشت. تدريس لگاريتمي به عنوان يك ريشه محاسبه از مدارس رفت بر مي بندد، سازندگان مشهور خط كش ها محاسبه دقيق به قطع توليد پرداخته اند و كتابها دستيهاي جداول رياضي مهم و فكر كنار گذاشتن جداول لگاريتمي اند.
محصولات اختراع برزگ نيز بدل به اشيايي در خود موزه ها شده اند مع هذا، تابع لگاريتمي به اين دليل ساده كه تغييرات لگاريتمي و نمايي مرز اجزاء حياتي طبيعت و آناليز است هرگز از بين نخواهد رفت در نتيجه مطالعه خواص توابع لگاريتمي و معكوس آن تابع نمايي همواره بخش مهمي از آموز رياضي باقي خواهند ماند.

معادله هاي مسئله اي
الف: با استفاده از قواهد آشناي نماها، خواص مفيد زيرين را براي لگاريتم ها ثابت كنيد:

ب: نشان دهيد كه
۱- (با اين فرمول مي توانيم لگاريتم در پاية b را، وقتي كه يك جدول لگاريتم در مبناي a در اختيار داشته باشيم، حساب كنيم.

ج: از گرفتن جذر ۱۰، سپس چذر نتيجة بدست آمده ادامة اين عمل به همين مقياس، مي توان جدول زير را ساخت:

با اين جدول مي توانيم لگاريتم هاي طبيعي هر عدد بين ۱ و ۱۰ و بدين ترتيب با جرح و تعديل مفسر لگاريتم هر عدد مثبت دلخواه را حساب كنيم. مثلاً فرض كنيد N عدد دلخواهي بين ۱ و ۱۰ باشد. N را به بزرگترين عدد موجود در جدول كه از N بزرگتر نيست، تقسيم كنيد فرض كنيد كه مقسوم عليه و خارج قسمت N1 باشد. در اين صورت بايد به همين سوال عمل كنيد و فرآيند را ادامه دهيد تا

بدست آيد. فرض كنيد كه عمل را زماني متوقف كنيم كه Nn را، كسري با پيكرهاي معني دار فقط از رقم ششم اعشاري به بعد باشد در اين صورت تا پنج پيكر اعشاري داريم:
اين شيوه به روش ريشه ها براي محاسبة لگاريتم ها موسوم است
را با اين شيوه حساب مي كنند.

حسابان و مفاهيم وابسته به آن
مقدمه: ديده ايم كه رياضيات جديد و دامنه دار زيادي در تحقيقات رياضي در قرن فهدم گشوده شدند كه اين دوره را به صورت دورة پرباري در بسط رياضيات درآورده اند. بي چون و چرا مهمترين دستاورد رياضي اين دوره ابلاغ حسابان در اواخر قرن توسط آيزك نيوتون و گوتفريد ويلهم لايبنتيز بود. با اين ابداع رياضيات خلاق به طور كلي به درجة پيشرفته اي مي رسد و تاريخ رياضيات ابتدايي اساساً با آن پايان مي يابد. فصل حاضر به رح كوتاهي از مبادي و بسط مفاهيم حسابان اختصاص مي يابد، مفاهيمي كه چنان كاربرد وسيعي دارندو چنان تاثيري بر دنياي جديد داشته اند كه شايد گفتنش درست باشد كه بدون آگاهي از آنها انسان بزحمت مي تواند ادعاي داشتن تحصيلات درست حسابي را داشته باشد. جالب توجه است كه بر خلاف ترتيب متداول در ارائه مطاب در دروس مقدماتي دانشگاهي فعلي، كه با مشتقگيري شر وع و بعدا به انتگرال گيري مي پردازيم مفاهيم حساب انتگرال از لحاظ تاريخي قبل از مفاهيم حساب ديفرانسيل به وجود آمده اند. مفهوم انتگرال گيري ابتدا در نقشي كه در يك فرآيند مجموعيابي در رابطه با يافتن بعضي مساحات، اجحام، و طول قوسها داشت، پديدار شد بعدها، مشتقگيري در رابطه به مسائل مربوط به مماس به منحنيها و سوالاتي دربارة ماكزيمم و مينيمومم توابع به وجود آمد. و حتي خيلي بعد از آن بود كه ارتباط انتگرال گيري با مشتقگيري به عنوان اعمال معكوس يكديگر مورد توجه قرار گرفت.
گر چه قسمت عمده گفتار ما به قرن هفدهم مربوط مي شود لازم است جهت آغاز مطلب به يونان باستان و قرن پنجم پيش از ميلاد بازگرديم.

پارادوكس هاي زنون
آيا بايد پذيرفت كه كميتي بينهايت بار تقسيم پذير است يا اينكه اين كميت از عدة بسيار زيادي اجزاي اتمي تقسيم ناپذير تشيكل شده است؟ فرض اول به نظر بسياري منطقي تر جلوه مي كند اما مفيد بودن فرض دوم پيدايش كشفيات بسياري موجب مي شودكه نامعقول بودن ظارهي آن تا حدي از بين مي رود. شواهدي در دست است كه در يونان باستان، مكاتب استدلال رياضي بر مبناي هر يك از دو فرض بالا به وجود آمده است.
برخي از اشكالهاي منطقي كه با هر يك از دو فرض پيش مي آيند به طور شگفت انگيزي در قرن پنجم ق . م به كمك چهار پارادوكس كه توسط فيلسوف اليايي زنون (حدود ۴۵۰ ق. م) ابداع شدند آشكار شدند اين پارادوكسها كه تاثير شگرفي در رياضيات داشتند بيان مي كنند كه خواه فرض كنيم كه كميتي بي نهايت بار تقسيم پذير است يا از عدة بسيار زيادي اجزاي اتمي ساخته شده است حركت غير ممكن است ما ماهيت اين پارادوكسها را با دو پارادوكس زير روشن مي كنيم
ديكتومي: اگر پاره خط مستقيمي بي نهايت بار تقسيم پذير باشد آنگاه حركت غير ممكن است زيرا براي پيمودن طول پاره خط ابتدا لازم است كه به نقطه وسط پاره خط برسيم و براي اين كار لازم است تا غير النهايه نتيجه مي شود كه حركت را حتي نمي توان شروع كرد.
تير: اگر زمان متشكل از لحظه هاي زير تقسيم ناپذير باشد آنگاه يك تير در حال حركت هميشه در يك جاست، زيرا در هر لحظه تير در يك وضعيت ثابت است. چون اين مطلب در مورد هر لحظه درست است نتيجه مي شود كه تير اصلاً حركت نمي كند.
توجيه هاي زيادي از پارادوكسهاي زنون به عمل آمده است و نشان دادن اين امر مشكل نيست كه اين پارادوكسها با اين باورهاي شهودي كه مجموع تعداد بينهايتي از كميت هاي مثبت، كميتي بسيار بزرگ است حتي اگر هر يك از كميت ها فوق العاده كوچك باشد و اينكه مجمو

ع عده اي كه از كميت هاي متناهي يا نامتناهي با بعد صفر است درتضاد قرار دارند. انگيزه ي واقعي اين پارادوكسها هر چه كه باشد اثر آنها حذف بينهايت كوچك از هندسة برهاني يوناني بود.

روش افضاي ائودوكسوس
اولين مسائلي كه در تاريخ حسابان پيش مي آيند، به محاسبه مساحتها احجام و طول قوسها مربوط اند و در مطالعه ي آنها به شواهدي از دو فرض قابل قسمت بدون كميت ها كه در بالا به آن اشاره كرديم، بر مي خوريم. يكي از قديمي ترين كارهاي مهم در زمينه مسئله تربيع دايره كار آنتيفيون سوفسطايي (حدود ۴۳۰ ق . م) است كه يكي از معاصرترين سقرط بود. گفته اند كه آنتيفون اين فكر را قوت بخشيده است كه با مواليا دو برابر كردن عدة اضلاع يك چند ضلعي چون مي توان مربعي از نظر مساحت ساخت برابر با چند ضلعي مفروض ساخت در اين صورت ساختن مربعي برابر با يك دايره مسير نخواهد بود. اين استدلال به دليل اينكه اصل تقسيم پذير بودن نامحدود كميتها را نقص مي كرد و اينكه به موجب اصل فوق در فرآيند آنتيفيون همة مساحت دايره به كار مي رود بلافاصله مورد انتقاد قرار گرفت با اين حال اظهار جسورانة آنييفيون نقطه روش افتاي مشهور يونانيون را در بر داشت.
روش افنا معمولاً به ائودوكسوس (حدود ۳۷۰ ق . م) منسوب مي شود و شايد بتوان آن را پاسخ مكتب افلاطوني به پارادوكسهاي زنون مصوب كرد. درا ين روش تقسيم پذير بودن نامتناهي كميتها پذيرفته مي شود. پاية آن گزارة زير است اگر از كميت دلخواهي كميتي تا كمتر از نصف آن كسر شود از باقيمانده قسمت ديگري كه از نصف آن كمتر نيست برداشته شود و اين عمل به همين قياس ادامه يابد در نهايت كميتي باقي مي ماند كه از هر كميت مفروض از همان جنس كمتر خواهد بود مي خواهيم روش اخنا را براي اثبات اينكه اگر مساحت دو دايره به قطرهاي باشند آنگاه:

به كار بريم
ابتدا، به كمك گزارة اساسي فوق نشان مي دهيم كه تفاضل بين مساحت يك دايره و يك چند ضلعي معاني را مي توان تا هر اندازه مورد نظر كوچك كرد فرض كنيد AB در شكل ۲ ضلعي از يك چند ضلعي منتظم محاطي باشد و فرض كنيد M نقطه وسط قوس AB باشد چون مساحت مثلث AMB نصف مساحت مستطيل ARSB و بنابراين بزرگ تر نصف مساحت نقطة دايرة AMB است. نتيجه مي شود كه با دو برابر كردن تعداد اضلاع به قدر كافي مي توانيم تفاضل مساحات بين دايره و چند ضلعي را از مساحت هر اندازه كوچك كوچكتر نماييم حال به قضيه فوق باز مي گرديم و فرض مي كنيم كه به جاي تساوي داشته باشيم

شكل ۲

در اين صورت مي توانيم در دايرة اول چند ضلعي منتظمي معاط كنيم كه تفاوت مساحت آن با به قدري كوچك باشد كه

فرض كنيد چند ضلعي منتظمي متشابه با ولي محاط در دايره دوم باشد در اين صورت بنابر قضيه معروف دربارة چند ضلعيها متشابه:

نتيجه مي شود كه يا كه غير ممكن است، چون مساحت يك چند ضلعي منتظم نمي تواند بيشتر از مساحت دايره محيطي آن باش به طور مشابه مي توانيم نشان دهيم كه

غير ممكن است در نتيجه به موجب اين مراحل برهان خلف مضاعف، قضيه ثابت مي شود بنابراين اگر A مساحت و d قطر يك دايره باشد داريم كه در آن k (كه در واقع است) مقداري است ثابت كه براي كليه دايره ها يكي است.
ارشميدس مدعي بود كه دموكريتوس (حدود ۲۱ ق .م) گفته است حجم هرمي كه قاعده آن چند ضلعي دلخواهي باشد يك سوم حجم منشوري با همان قاعده و ارتفاع است. در بازة دموكريتوس اطلاع كمي در دست است اما معلوم نيست كه او توانسته باشد برهان دقيقي براي اين قضيه ارائه نمايد. چون هر منشور را مي توان به صورت مجموع منشورهاي كه قاعدة همة آنها مثلت باشد قطعه قطعه كرد. و منشوري از اين نوع را مي توان به نوبة خود به سه هرم مثلث القاعده تقطيع كرد كه دو به دو قاعده هاي معادل و ارتفاع هاي يكسان داشته باشند نتيجه مي شود كه گره مسئلة دموكرتيوس نشان دادن اين امر است كه دو هرم با ارتفاع هاي مساوي و قاعده هاي
معادل مجموعه‌ها برابر دارند برهاني براي آن را بعداً ائودوكسوس با استفاده از روش افنا داده است. در اين قسمت دموكريتوس چگونه مي توانسته به اين نتيجة اخير دست يافته باشد؟ پلوتاركليدي در اختيار ما مي گذارد ولي مواجه شدن دموكريتوس را با يك مطئله بغرنج وقتي كه يك مخروط را متشكل از بي نهايت مقطع عرضي مستوي به موازات قاعده تلقي كرده نقل مي گند اگر دو مقطع «مجاور» مساحت هاي مختلف داشته باشند جسم يك استوانه خواهد بود نه يك مخروط از طرف ديگر اگر دو مقطع «مجاور» به يك اندازه باشند يك استوانه خواهد بود نه يك مخروط از طرف ديگر اگر دو مقطع «مجاور» مساحت هاي مختلف داشته باشند جسم يك استوانه خواهد بود نه يك مخروط از طرف ديگر اگر دو مقطع «مجاور» به يك اندازه باشند سطح جسم مفروض به يك سلسله از پله هاي كوچك تقسيم خواهد شد كه مطمئناً چنين چيزي در بين نيست در اينجا

فرض راجع به تقسيم پذير بودن كميتها داريم كه نت به دو فرض كه قبلاً بررسي شده اند تا حدي جنبة بنيادي دارد زيرا در اينجا فرض مي كنيم كه حجم مخروط بينهايت بار تقسيم پذير يعني قابل تقسيم به بي نهايت مقطع اتمي مستوي است، اما اين فرض را هم مي كنيم كه اين مقاطع قابل شمارش اند بدين معني كه اگر يكي از آنها را در نظر بگيريم مقطعي ديگر در كنار آن قرار دارد دموكرتيوس احتمالاً چنين استدلالي كرده است كه اگر دو هرم با قاعده هاي معادل در ارتفاعهاي برابر را صفحات موازي با قاعده قطع كنند و اين صفحات ارتفاعها را به يك نسبت قطع نمايندو در اين صورت مقاطع مناظر تشكيل شده معادل هستند بنابراين هرم ها شامل تعدادي نامتناهي ول

ي متساوي از مقاطع متناظر تشيكل شده معادل هستند و بنابراين بايد حجمهاي برابر داشته باشند اين مي تواند موردي از روش تقسيم ناپذيرهاي كاواليري باشد.
اما از مردم باستان ارشميدس بود كه زيباترين كاربردهاي روش افنا را عمل كرد و همه بود كه به انتگرال گيري واقعي از همه نزديكر شد به عنوان يكي از قديمي ترين مثالها تربيع وي از يك قطعة سهمه را در نظر بگيريد. فرض كيند E,D,C نقاطي واقع به قطعة سهموي باشند (نگاه كنيد به شكل ۳) كه از رسم NE,MP,LC به موازات از خواص هندسي سهمي ارشميدس نشان مي‌دهد كه
كه كاربردهاي مكرر اين ايده نتيجه مي شود كه مساحت قطعة سهموي توسط

كه كاربردهاي مكرر اين ايده نتيجه مي شود كه مساحت قطعه سهموي توسط

داده مي شود.

شكل ۳

ما در اينجا گار با گرفتن حد مجموع يك تصاعد هندسي مختصر كرده ايم ارشميدس ابزار برهان خلف مضاعف مربوط به روش افنا را به خدمت مي گيرد.
ارشميدس در مالعه اش از بعضي مساحتها و احجام به معادلهاي عده اي از انتگرالهاي معين كه در كتابهاي حسابان مقدماتي ديده مي شود دست يافت.

روش تعادل ارشميدس
روش افنا روش بسيار دقيق ولي بي باري است به عبارت ديگر وقيت فرمول را بداينم روش افنا مي تواند بسيار وسيلة زيبايي براي اثبات آن باشد ولي اين روش قابليتي دركشف اوليه نتيجه ندارد و ازا ين احاظ روش افا بسيار شبيه به فرآيند استقراء رياضي است سپس ارشميدس فرمولهايي را كه با آن همه خوبي به روش افنا ثابت كرده چگونه كشف كرده است؟
پرسش بلا استفاده سرانجام در ۱۹۰۶ با كشف نسخه اي از مقالة روش ارشميدس كه از مدتها پيش مفقود و خطاب به اراتستن نوشته شده بود توسط هاليبرگ در قسطنطنيه پاسخ داده شد.
اين دست نوشته بر روي يك پاليمت سست قرار داشت. يعني در قرن دهم بر روي كاغذپارچه اي نوشته شده بود سپس بعدها در قرن سيزدهم شسته شده و مجدداً براي نوشتن يك متن مذهبي مورد استفاده قرار گرفته بود خوشبختانه قسمت اعظم متن اوليه از زير نوشته ي بعدي قابل احيا بود. ايدة اصلي روش ارشميدس چنين است براي يافتن مساحت يا حجم مطلوب آن را از راه بريدن به صورت تعداد زيادي نورهاي باريك مستوي موازي يا لايه هاي موازي باريك در اوريد و اين قطعه ها را (به طرز ذهني) در يك طرف هرم مفروض چنان آويزان كنيد كه با شكلي كه گنجايش و مركز هندسي آن معلوم باشد در حالت تعادل قرار گيرد براي روشن كردن اين روش آنها را براي يافتن فرمول حجم كرده به كار مي بريم
فرض كنيد r شعاع كره باشد كره را طوري قرار دهيد كه قطر اصلي آن در امتداد محور افقي x ها قرار گيرد و قطب شمال n در مبدا باشد (نگاه كنيد به شكل ۳) استوانه و مخرو

ط دوار حاصل از دوران مستطيل NABS در مثلث NCB در طول محور xها را بسازيد حال رزمه قاچ هاي عمودي باريك (فرض كنيد كه اين قاچ ها استوانه هاي همواري هستند) به فاصلة x از N و ضخامت ببريد. حجم هاي اين قاچ ها تقريباً عبارتند از:
: كره
استوانه
: مخروط
قاچ هاي كره در مخروط را در نقطة آويزان مي كنيم مجموع گشتاورهاي آلفا در حول N عبارت است از

ملاحظه مي كنيم كه اين مجموع چهار برابر گشتاور قاچ بريده شده از استوانه است وقتي كه اين قاچ در همانجا كه هست بماند با افزودن تعداد زيادي از اين قاچ ها بر هم رابطة زير را به دست مي آوريم:

[حجم استوانه]r4= [حجم مخروط + حجم كره]r2
حجم كره] r2
حجم كره