مقدمه

کشش عمیق یکی از مهمترین فراینـدهاي شـکل

دهی ورقها است. ایـن فراینـد کاربردهـاي زیـادي در صنایع مختلف از جملـه صـنایع خودروسـازي، هـوا و

فضا، لوازم خانگی و مانند آن دارد .[۱] آگاهی از میزان

نیروي تغییر شکل و عوامل مؤثر بر آن از دیدگاه فنی و اقتصادي اهمیت بسیار زیادي دارد. نیـروي لازم بـراي

کشش عمیق با اسـتفاده از برخـی از روابـط کلاسـیک

قابل محاسبه است، ولی این روابط دو اشـکال اساسـی دارنداو.ل آنکه نیروي واقعی تغییـر شـکل بـا تقریـب

نسبتاً بـالایی محاسـبه مـیشـود ثانیـاً،و تـأثیر عوامـل مختلفی از جمله نسبت کشش، شعاع شـانهي قالـب و سنبه، لقی بین سنبه و قالب و نظیر آن (کـه بـر نیـروي
کشش عمیق تأثیر زیادي دارند) نادیده گرفته میشـوند

.[۱] بهنظر میرسد که افزون بر بهدست آوردن نیـروي نزدیک به واقعی تغییر شکل و اطـلاع از تـأثیر عوامـل

فرایند بر آن، چگونگی تغییر نیرو حین فرایند نیز مهـم

باشد، زیرا در بسیاري از موارد هـدف تبـدیل گـردهي ورق به استوانهي کامل نیست، بلکه تولید یک اسـتوانه

همراه با لبه مطلوب است. در این شرایط، بـا دسترسـی

به نمودار نیرو- جابجـایی سـنبه نیـروي سـنبه بـهازاي مقادیر مختلف ارتفاع قابل پیشبینی است.
بهدست آوردن شرایط مناسـب فراینـد بـا انجـام

آزمایشهاي متعـدد مـستلزم صـرف وقـت و هزینـهي زیادي است. بنابراین، واضح است که پیشبینی نیـروي تغییر شکل و روند تغییرات آن شرایط لازم براي تولیـد
محصول سالم را فراهم خواهـد کـرد .[۲,۳] بعـضی از

محققان در گذشته ارتباط بین نیرو و جابجایی سـنبه را در یــک شـرایط خـاص بــا اسـتفاده از روش اجـزاي
محدود بهدست آوردهاند، ولی تأثیرپذیري این ارتباط از

متغیرهـاي فراینــد کــمتــر مـورد توجــه قــرار گرفتــه

است .[۴,۵]

در این تحقیق، تأثیر اندازهي شعاع شانهي قالـب

و سـنبه بــر نیــروي کـشش عمیــق و تغییــرات آن بــا

ارزیابی تحلیلی تاثیر شعاع شانه قالب و سنبه …

جابجـایی سـنبه مطالعـه و تحلیـل شـده اسـت. بـراي

ارزیابیدقّت تحلیل بهکار رفتـه، محاسـبات مطـابق بـا

شرایط عملی در مرجع شمارهي ۶ انجام شـد، و نتـایج حاصل با نتایج آزمایشگـاهی موجـود در ایـن مرجـع

مقایسه شدند.

تئوري

نحوهي شکلگیري هندسهي قطعه با پیشروي

سنبه. در شروع فرایند، پس از تماس سنبه با ورق و بـا

ادامهي پیشروي آن، ورق بر روي شانهي قالب و سـنبه خم میشود، سطح تماس آن با این مناطق افزایش یافته

و زاویهي خم θ که در شانهي قالب و سـنبه یـکسـان است، بیشتر میشود. زاویـهي خـم θ نـشاندهنـدهي مکان هندسی آخرین نقطـهي تمـاس ورق بـا شـانهي
قالب و یا شانهي سنبه است (شکل .((۱) با اسـتفاده از

روابط هندسی و اعمـال اصـلاحات لازم در معـادلات ارائه شده در مرجع ۱ بهمنظور اسـتفاده از آن بـهعنـوان

مدل تحلیلی در این مقاله، ارتباط زاویهي خم با شـعاع

شانههاي قالب و سنبه، لقی بین آنها و جابجایی سـنبه با رابطهي زیر نمایش داده میشود:
] (۱) r (C  r ) (L – r ) (C  r )2 (L – r )2 – r 2 θ  A sin[
t t (C  rt )2 (L – rt )2 t t
t t

که در آن، rt = rp + rd، rd و rp بهترتیـب شـعاع

شانهي قالب و سنبه، C میزان لقی بین قالـب و سـنبه و

L میزان جابجایی سنبه ( L=0 در لحظهي تماس سـنبه با ورق در ابتداي فرایند) میباشند. زاویهي خـم θ بـر
حسب رادیان بیان میشود.

در شکل (۲) مشاهده میشود که روند افزایش θ با افزایش rp آهستهتـر مـیشـود. بـهعبـارت دیگـر، بـا

افزایش rp زاویهي خم θ در جابجایی بیشتري از سنبه

بهمقدار دلخواه میرسد. از آنجا که rd و rp در رابطهي

(۱) نقــش یکـسانی دارنـد، تــأثیر ایــن دو عامــل بــر

چگونگی افزایش زاویهي خـم یکـی اسـت. بنـابراین،

نمـودار مـذکور بـراي rp = 6 mm و rd = 4 – ۱۲ mm

نشریه مهندسی متالورژي و مواد ۱۳

نیز صادق است.

سنبه

قطعهکار

شکل۱ الف) تصویري از فرایند کشش عمیق، (ب): مناطق مختلف در قطعهي کشیده شده

در این بحث، فرض بر این است که تغییر شـکل

ماده تنها در نواحی دورلبه و شانهي قالب رخ میدهـد.

بنـابراین، جمـعشـدگی محیطـی و کـشیدگی شـعاعی

اجزاي گردهياولیه تا موقعی است که آنها بـا شـانهي

قالب در تماس باشند. بهعبارت دیگر، پـس از آخـرین

تماس ماده با شـانهي قالـب (طـی کـردن زاویـهي ( θ،

اجزاي ماده حرکت صلب خواهند داشت.

همـانطـور کــه در شـکل -۱) الــف) مــشاهده

میشود، با پیشروي سنبه گردهي ورقاولیه بـه شـعاع

R0 به یک قوطی نیمه کشیدهاي تبدیل میشـود کـه از

پنج قسمت تشکیل شده است. مساحت این پنج ناحیـه

بــا در نظــر گــرفتن اجــزاي کوچــک در مــاده و

انتگــرالگیــري، بــهکمــک روابــط هندســی محاســبه

میشود .[۱]

ناحیهي :I این ناحیه حلقوي شکل است و مساحت آن

برابر با π[R2 -(R1 +C+rd )2 ] میباشد. در این رابطـه، R

شعاع لحظهاي گرده (شعاع نقاط لبـهاي دورلبـه) و R1

شعاع سنبه است.

شکل۲ تأثیر شعاع شانهي سنبه بر چگونگی افزایش زاویهي خم

۴۱ ارزیابی تحلیلی تاثیر شعاع شانه قالب و سنبه …

ناحیهي :II رویهاي مدور با قوس بیرونی اسـت کـه بـا

شانهي قالب در تماس بوده و مـساحت آن ( (Sd برابـر

است با:

Sd  ۲ πrd [(R1 C)(cos θ-۱)rd ] (2)

ناحیهي :III ایـن ناحیـه سـطح جـانبی یـک مخـروط

ناقص است که مساحت آن ( (Sw با استفاده از رابطـهي

زیر محاسبه میشود:

(۳) Sw  p 1 tan2 q{[R1 C Rd (1- sin q)]2 –
– r (1- sin q)]2} 1 [R
p

ناحیهي :IV رویهاي مدور با قوس داخلی است کـه بـا

شانهي پانچ در تماس بـوده و مـساحت آن (Sp ) برابـر

است با:

Sp  ۲ πrp [R1(۱- θ- cos θ)rp ] (4)

ناحیهي :V این ناحیه معادل سـطح صـاف کـف سـنبه است و مساحت آن برابر با π(R1 – rp )2 میباشد.
با ادامهي پـیشروي سـنبه، نـواحی II، III و IV

بهطور پیوسته توسـعه مـییابنـد و وسـعت ناحیـهي I

کاهش مییابد، در حالی که ناحیهي V در طول فراینـد

ثابت باقی میماند.

محاسبهي نیروي سنبه

نیروي سنبه برابر است با حاصلضرب مـساحت سطح مقطع دیوارهي محصول در تنش اعمـالی بـر آن.

تنش وارد بر دیوارهي محصول در حالت کشش از چند بخش تشکیل شده است :[۶]

الف- تنش لازم بـراي کـشش شـعاعی مـاده ( Radial (Tension

ب- تنش لازم بـراي غلبـه بـر اصـطکاك بـین مـاده و

ورقگیر، و ماده و قالب

پ- تنش لازم براي خمش ورق ت- تنش لازم براي غلبـه بـر اصـطکاك بـین قطعـه و

قالب در ناحیهي شانهي قالب ث- تنش لازم براي بازخمش ورق

الف- تنش لازم براي کشش شـعاعی مـاده. بعـد از

پیشروي سنبه بـهمیـزان L، رابطـهي (۵) بـراي شـعاع

اولیهي ρ۰ برقرار است. این رابطه با توجـه بـه شـکل

(۱) و فرض ثابت بودن ضخامت بهدست آمده است:

πρ۰۲  π(R 1-rp )2 Sp Sw Sd  S′ (۵)

دو حالت زیر براي S′ وجود دارد:

-۱ اگر ρ۰ بهشکلی باشد که پس از جابجایی سنبه بـه

میزان L، اجزاي کوچک با شعاع ρ۰ به شـانهي قالـب

نرسند. در ایـن حالـت، S′ سـطحی حلقـوي شـکل در

ناحیــهي دورلبــه اســت و مــساحت آن برابــر بــا

π[ρ۱۲ – (R1  C  rd ) 2 ] مــیباشــد. ρ۱ شــعاع جــزء

کوچکی است که شعاع ابتدایی آن ρ۰ بوده است.

-۲ اگر ρ۰ بهشکلی باشد کـه پـس از جابجـایی سـنبه

بهمیزان L، اجزاي کوچـک بـا شـعاع ρ۰ وارد شـانهي قالب شوند. در این حالت،S′ یک رویهيدوار با قوس بیرونی خواهد بود و اگر چه مساحت آن با اسـتفاده از رابطهاي مـشابه بـا رابطـهي ۲ محاسـبه مـیشـودام،ـا

میتوانکمیتρ را بهگونهاي تعریف کرد کهS′ ماننـد

حالت اول قابل محاسبه باشد. بهایـن ترتیـب، رابطـهي

(۵) به رابطهي زیر تبدیل خواهد شد:

Cr )2] ۱ -r )2 S  S S  π[ρ۲ – (R 1 πρ۲  π(R
d 1 wd p p 0
– rd sin θ £ x £ R0 – (R1 C rd ) , ρ۱  R1  C rd x
(6)

بنابراین، بهازاي جابجایی دلخـواه L و بـا فـرض

ثابت بودن ضخامت گردهي اولیه، کرنش شعاعی ایجاد

شده در هر جزءاولیه بـه شـعاع ρ۰ بـا جـايگـذاري رابطهي (۶) در رابطهي کرنش بهدست میآید:
ρ
εrt  ln ρ۰ 

۱

Cr )2 1 S ) /π−(R w −r ) 2 (S  S 1 (R
۱ d d p p ln
ρ۲

۱
(۷)

yt = kεnef
1+n

۱٫۱۵۵ε

نشریه مهندسی متالورژي و مواد

مشاهده میشود که در جابجایی سنبه بهمیزان L،

بیشترین مقدار کرنش در جزءاولیهاي اتفاق مـیافتـد

که شعاع آن (ρo) به کمترین مقدار ρ۱ تبدیل شده باشد.

بنابراین، براي دستیابی به بالاترین میزان کـرنش، لازم

است تـا x در رابطـهي ۶ برابـر بـا -rd sin θ باشـد. در

ایـنصـورت،S′در رابطـهي (۵) بـا -Sd برابـر شـده و

رابطهي (۷) که بیشترین میزان کـرنش شـعاعی ایجـاد

شده بهازاي L دلخواه را بهدست میدهـد، بـه رابطـهي

زیر تبدیل خواهد شد:

(۸) )/π w -r )2 +(S +S 1 (R
p p rt =ln ε
R1 +C+rd (1-sinθ)

از آنجا کـه حالـت کـرنش در ناحیـهي دورلبـه

صفحهاي اسـت، کـرنش مـؤثر εef برابـر بـا r

خواهد بود. رفتار کارسختی اغلب فلـزات و آلیاژهـا از

رابطهي لودویک- هولومن (σ = k εn پیروي مـیکنـد.

در این تحقیق نیز فرض شده است که این رابطه برقرار است و بنابراین، تنش سیلان میـانگین از رابطـهي زیـر

بهدست میآید:

(۹)

اگر فرض کنیم که εef تنهـا در نتیجـهي کـشش

شعاعی ایجـاد شـده باشـد، yt تـنش سـیلان میـانگین اجزاي کوچکی است که زاویهي خم آنها برابـر بـا θ است. در رابطهي (۹)، k ضـریب اسـتحکام و n تـوان کارسختی است. لازم به ذکر است که مطابق شکل (۱)،

زاویـهي خـم صـفر درجـه هنگـامی رخ مـیدهـد کـه

جابجایی سنبه صفر باشد.

علـــیرغـــم ایـــنکـــه نویـــسندگان مقالـــه از

نـاهمسـانگـردي مـواد در مقیـاس میکروسـکپی آگـاه

هستندام،ا همسانگردي ماده در مدل ارائه شده در این تحقیق پـیش فـرض شـده اسـت. بنـابراین، بـا فـرض

همسانگرد بودن ماده و برقـراري حالـت تعـادل بـراي نیروها و اعمال شرایط مرزي براي یـک جـزء کوچـک

۱۵

دلخواه واقع در ناحیهي دورلبه، تنش کششی (σr) براي

کشش شعاعی اجزاي کوچک دورلبه تا آخرین نقـطي

تغییر شکل (آخرین نقطهي تماس ماده با شانهي قالب)

و تشکیل دیوارهي محصول با استفاده از رابطـهي زیـر محاسبه میشود :[۸]
σrt  ۱٫۱۵۵yt ln ρR (10)

۱

اگر در رابطهي (۶) بهجاي ρ۰ وρ۱ بهترتیـبR0

و R قــرار داده شــود، و R بــهدســت آمــده از آن در

رابطهي (۱۰) جايگزین شـود، تـنش کشـشی خـالص

بهشکل زیر محاسبه میشود:

σrt ۱٫۱۵۵y t ln R02 – (R1 – rp )2 – (Sp Sw  Sd ) / π(R1 C rd )2

R1 C  rd (1 – sin θ)

(۱۱)

ب- تنش لازم براي غلبه بر اصطکاك بین ورق گیر و قالب. با استفاده از رابطههاي ذکـر شـده در مرجـع ۶،

تنش اصطکاکی (σff) بهشکل زیر قابل محاسبه خواهـد

بود:
(۱۲) Fbh σ ff 
Cr )t 1 π ( R
0 d
در این رابطه،  ضریب اصـطکاك، Fbh نیـروي ورقگیر و t0 ضخامت ورق است (فرض بر این اسـت

که ضخامت در طول فرایند ثابت باقی بماند).

پ- تنش لازم براي خمش ماده. در نقطهي A (فصل

مشترك دورلبه و شانهي قالب)، اجـزاي کوچـک مـاده

دچار خمش میشـوند. بـا در نظـر گـرفتن یـک جـزء

کوچک و نوشتن تعادل نیروهـا و موازنـهي نـرخ کـار

ورودي و خروجی بهاین جزء، تنش لازم براي خمـش

ماده بهشکل زیر محاسبه میشود :[۶,۹]

(۱۳) f2 (σrf ff )2 ]
t0 [y σ b 

۳yf (2rd  t0 )

۶۱ ارزیابی تحلیلی تاثیر شعاع شانه قالب و سنبه …

yf تنش تسلیم المانی است کـه در جابجـایی L

به نقطه A رسیده و σrf نیز تـنش شـعاعی لازم جهـت

کشش شعاعی المانهاي فلنج تا نقطه A می باشد.

کرنش مؤثري که در نقطهي A ایجاد میشود، بـا

استفاده از رابطهي زیر بهدست میآید:

(۱۴) (R – r )2  (S S S ) / π ۱٫۱۵۵ln  ε rf
pwd 1 p

R1  C  rd

yf را میتوان با استفاده از رابطهاي مشابه بـا رابطهي (۹) محاسبه کرد، و σrf نیـز هماننـد آنچـه در مورد σrt شرح داده شد، بـهصـورت زیـر و مـشابه بـا

رابطهي (۱۱) قابل محاسبه خواهد بود: