۱ مقدمه

مدلســـازی دقیق مخازن شـــکافدار و پیش بینی رفتار جریان ســـیال در مخازن شـــکافدار طبیعی یکی از مهمترین و چالش برانگیزترین موضـوعات در مهندسی نفت است. دو مدل رایج برای توصیف جریان و پدیده انتقال سیال در مخازن شکافدار

مدلهای گسسته و پیوسته میباشد. در مدلهای گسسته، تراوایی ماتریکس صفر در نظر گرفته میشود و نیاز به حجم بالایی

از محاســبات پیچیده دارد. مدل تخلخل دوگانه در حالتی که شــکســتگیها به خوبی گســترش یافته و به موازات یکی از

محورهای اصلی باشند، معتبر است. مدل تخلخل دوگانه توانایی مدلسازی صحیح مخازنی که دارای تغییرات در طول، جهت

و فاصله شکستگیها هستند را ندارد (امیر علی،.(۲۰۱۱ تانسور تراوایی روشی کارا برای ارائه تراوایی در سازندهای شکافدار است. در این روش هر بلوک از مخزن با یک بلوک همگن که دارای یک تانسور تراوایی معادل است جایگزین میشود.

تانسـور تراوایی اولین بار توسـط اسنو در سال ۱۹۶۹ برای شکستگیهای موازی با تراوایی ماتریکس صفر، معرفی شد. وی مدلی ریاضی برای محاسبه تراوایی یک دسته شکستگی موازی و نامحدود ارائه کرد. چن و همکاران در سال ۱۹۹۹بر اساس

مدل اسـنو، روشـی تحلیلی برای محاسـبه تراوایی معادل یک سیستم شکستگی با شکستگیهای موازی ارائه کردند. لانگ و

همکاران (۱۹۸۲) با در نظر گرفتن اتصـال بین شـکسـتگیها سـیستمی از شکستگیها با جهت دلخواه مطالعه کردند. ادا در

سال ۱۹۸۵ برای محاسبه تانسور تراوایی خط تولید-تزریق در شکستگی هایی با توزیع تصادفی در نظر گرفت. در روشهای ذکر شده تراوایی ماتریکس نادیده گرفته شده است.
ناکاشیما و همکاران با استفاده از روش المان مرزی متغیر در یک محیط دارای شکستگی با توزیع یکسان مدلی برای محاسبه تانسـور تراوایی ارائه دادند. لی در سـال ۲۰۰۰، با معرفی روش سـلسـله مراتبی مدلی را برای در نظر گرفتن شکستگیهای کوچک و بزرگ در محاســبه تانســور تراوایی ارائه کرد. تیموری در ســال ۲۰۰۵، شــکســتگیهای کوتاه را به عنوان تخلخل ماتریکس در نظر گرفت . وی در یک محیط دو بعدی به زبان فورترن۱، برنامه کامپیوتری برای محاسـبه تانسور تراوایی ارائه کرد.

در مطالعه حاضـر تانسـور تراوایی با اسـتفاده از شکستگیهایی با اندازه و جهت دلخواه محاسبه شده است. برای این منظور ابتدا یک شبکه شکستگی در دو بعد با توجه به مختصات ابتدا و انتهای شکستگی ساخته شده و سپس با در نظر گرفتن مدل

دو بعدی ریز دانه و تک فاز و در نظر گرفتن توزیعی از مشـخصـات شـکستگی در شبکه ریز دانه و با اعمال شرایط مرزی

مناسـب، فشار و دبی در راستاهای مختلف محاسبه میشود. سپس با استفاده از رابطه دارسی المان های ماتریس تراوایی موثر بدست می آید. در پایان نتایج بدست آمده از روش عددی توسعه یافته در این مطالعه با نتایج حاصل از روش تحلیلی، برای یک شکستگی منفرد در زوایای مختلف، مقایسه شده است.

.۲ محاسبه تانسور تراوایی

قانون دارسی در مختصات کارتزین برای جریان سه فازی در محیط ناهمسانگرد به صورت زیر نوشته میشود:
× = −
(۱)

۱ Fortran

۴۶

زونبندی مخزن با استفاده از روش تفکیک تخلخل مفید و غیرمفید …

(۲) ]× K = [


(۳) , , = [

که در آن، P فشار، v سرعت، A سطح مقطع عبور سیال، μ گرانروی سیال و K تانسور تراوایی را نشان میدهد. در سیستم

مختصات دو بعدی ماتریس تانسور تراوایی به صورت رابطه ۴ نمایش داده میشود.

(۴) = [

در این رابطه ⁡ و ⁡ عناصـر قطری و ⁡ و ⁡ عناصر غیر قطری ماتریس تانسور تراوایی هستند. تانسور تراوایی یک ماتریس متقارن و مثبت است بنابراین، = (دورلوفسکی،. (۲۰۰۰
(۵) . > ( )2, > 0, > 0×

شـکل ۱ و شـکل ۲ یک شـبکه شـکسـتگی با جهت دلخواه وشـرایط مرزی مناسـب جهت محاسبه تانسور تراوایی را نشان

میدهد. شـکل ۱ شرایط مرزی به منظور محاسبه المانهای قطری تانسور تراوایی را نشان میدهد. در شکل ۲ الف نرخ

جریان در جهت x ناشــی از افت فشــار در جهت x و نرخ جریان در جهت x ناشــی از افت فشــار در جهت y و در شـکل۲ ب نرخ جریان در جهت y ناشـی از افت فشار در جهت y و نرخ جریان در جهت y ناشی از افت فشار

در جهت x، میباشد. بنابراین با استفاده از رابطه ۶ میتوان تانسور تراوایی را محاسبه کرد.

شکل :۱ شرایط مرزی برای محاسبه المانهای قطری تانسور تراوایی.( الف) مقدار تراوایی معادل در جهتy با توجه به نرخ جریان در جهت y بدست میآید. (ب) مقدار تراوایی معادل در جهت x با توجه به نرخ جریان در جهت y بدست میآید.

۴۷

زمین شناسی نفت ایران، شماره ۶

شکل -۲ شکلهای الف و ب شرایط مرزی برای محاسبه المانهای غیر قطری تانسور تراوایی، ⁡ و ⁡ را نشان میدهند.
۰ ∆


∆ ×
(۶)
] × [ ] = [

۰

∆ ] [

۱٫۲ معادلات جریان سیال

قوانین بقای جرم، مومنتم و انرژی می .توانند رفتار ســیال در محیط متخلخل را پردازش کنند .این قوانین فیزیکی همگی بصورت مجموعه ای از معادلات با مشتقات جزئی بیان شده اند که حل این معادلات بدلیل پیچیدگی که دارند از طریق روش

های تحلیلی امکان پذیرنمیباشد و باید با روشهای عددی آنها را حل کرد. برای حل این معادلات به روش های عددی ابتدا

لازم اسـت که قلمرو حل به تعدادی زیر قلمرو( بلوک)تقسـیم شود که چنانچه معادله بقای خاصیت برای هرگرید نوشته شود

در این صـورت هرگرید از طریق معادله مشـتق جزئی با گریدهای همسـایه خود ارتباط پیدا می کند. گسـسته سازی مخزن به معنای توصیف مخزن با یک سری گرید است که ویژگی، ابعاد، مرزها و مکان آنها در مخزن مشخص است. شکل ۳ گسسته سازی مخزن را در محیط یک بعدی، دو بعدی و سه بعدی نشان میدهد. در این مطالعه از روش گرید مرکزی۲ برای گسسته سـازی محیط دو بعدی شـبکه شـکستگی استفاده شده است. سپس با استفاده از روش تفاضل محدود معادلات جریان سیال برای هر گرید نوشته شده است.

۲ Block centerd

۴۸

زونبندی مخزن با استفاده از روش تفکیک تخلخل مفید و غیرمفید …

شکل :۳ گسسته سازی مخزن و همسایگی گرید (i,j) در حالت یک بعدی،دو بعدی و سه بعدی الف)گرید i دارای دو همسایگی در حالت جریان یک بعدی میباشد. (ب) تعداد همسایگی در حالت دو بعدی چهار همسایگی میباشد.(ج) تعداد همسایگی در حالت سه بعدی برای گرید i شش همسایگی است.

معادله گسـسـته شـده جریان سـیال تکفاز و تراکم ناپذیر به روش تفاضل محدود ۳در مختصات دو بعدی به صورت معادله خطی۷ است.

[( +۱, − , )] +× [( , −۱ − , )] + −۱/۲, [( −۱, − , )] + +۱/۲, , −۱/۲
(۷) = ۰×
[( , +۱ − , )] + , , +۱/۲
که در آن فشار گرید (i,j) در گام زمانی m میباشد. در این معادله نشان دهنده جریان ورودی (خروجی) به گرید
, ,

(i,j) از چاه میباشـد. در صـورتیکه چاه تزریقی و یا تولیدی وجود نداشـته باشـد، این عبارت صـفر در نظر گرفته میشود.
±۱/۲, و ±۱/۲, به ترتیب عبورپذیری۴ در جهت x و y نام دارد. و از روابط بدست میآیند
)⃒ ±۱/۲, ×
(۸) ±۱/۲, = (

(۹) )⃒ ±۱/۲, ×
±۱/۲, = (

اندیس ±۱/۲, ⁡ و ±۱/۲, به این معنی اســت که عبورپذیری ســیال بین دو گرید همســایه در مرز مشــترک آنها محاســبه

میشود. ویسکوزیته سیال بر حسب سانتی پواز، Ax و Ay، سطح مقطع عبور جریان ، B ضریب حجمی نفت با واحد حجم مخزن به حجم استاندارد و∆ و∆ ⁡ ابعاد مخزن در جهت x وy است. معادلات خطی جریان برای تک تک گریدهای مخزن

نوشـته میشود. دستگاه معادلات بدست آمده به روش تکراری گوس سایدل تا جایی حل میشود که شرط همگرایی زیر بر

قرار شود.
= +۱ − < 10−۵ (۱۰)

۳ Fininte diffrence 4 Transmissibility/Transmissitivity

۴۹

زمین شناسی نفت ایران، شماره ۶

شرایط مرزی

در مطالعه حاضر ابتدا شرایط مرزی با اختلاف فشار ثابت در امتداد مرزهای شرقی و غربی اعمال شده است و شرایط مرزی

بدون جریان در امتداد مرزهای شـمالی-جنوبی در نظر گرفته شـده اسـت. در مرحله بعد به منظور محاسبه جریان در امتداد شمالی جنوبی شرایط مرزی بدون جریان در امتداد مرزهای شرقی غربی و شرایط مرزی فشار ثابت در جهت شمالی جنوبی

در نظر گرفته شـده اسـت (شکل .(۱ به منظور محاسبه المانهای غیر قطری تانسور تراوایی از شرایط مرزی شکل ۲ استفاده

شده است.