مقدمه

پدیده جدایش و بازگشت جریان در بسیاری از زمینههای مهندسـی مانند عمران، مکانیک، هوافضا، شـیمی و مهندسـی محـیط زیسـت بسیار مهم است و بـه وفـور و بـه صـورت اجتنـاب ناپـذیری اتفـاق می افتد و مشخصات جریان را به شدت تحت تأثیر قرار می دهد. اگر سیالی که در مجاورت یک جسم جامد حرکـت مـی کنـد بـا تغییـر ناگهانی سطح روبرو شود، چنانچه نتوانـد تغییـر را دنبـال کنـد، از سطح جدا می شود و در پایین دسـتمجـدداً بـه سـطح سـیال بـاز می گردد. بین محل جدایش و نقطه بازگشت جریان، یک گردابه که همراه با افت فشار و جریان بازگشتی است، شکل میگیرد.

یکی از مسائل بنیادی جدایش جریان که مورد توجـه محققـان قرار گرفته است، جریان محوری حول اسـتوانه ای بـا لبـه هـای تیـز است. در مقاله حاضر مشخصات این جریان با تاکید بر ساختار ناحیه جدایش به صورت عددی مورد بررسی قـرار گرفتـه اسـت. شـکل ۱ الگوی شماتیک این جریان را نمایش داده استاولین. بـار اُتـا[۱] ۱

۱ Ota

*نویسنده مسئول. تلفن: +۹۸ ۹۳۷۴۶۲۳۵۱۶

آدرس پست الکترونیک: hamidrastgoo3000@yahoo.com

میدان فشار و سرعت های نوسانی و متوسط -زمانی را در یک جریان محوری حول استوانه بررسی کرد. سپس اُتا و متگـی[۲] ۲ جزئیـات بیشتری از مشخصات این جریان در حالت آشفته در ناحیه جدایش و پس از آن را ارائه دادند. کیا۳ و همکاران [۳] نتـایج آزمـایشهـای خود را با تاکید بر ناحیه جدایش و ساختار ناحیـه بازگشـت جریـان

منتشر کردند.

گاویندا ۴ و آراکری[۴] ۵ آزمایشهایی مشابه اُتـا انجـام دادنـد و فانگ [۵] ۶ به بررسی ویژگی ناپایداری دراین جریان پرداخت. اُتـا و کن[۶] ۷ انتقال حرارت در این جریان را مطالعـه کردنـد و اسـپارو۸ [۷] نشان داد که بیشینه انتقال حـرارت در فاصـله انـدکی از نقطـه بازگشت جریان اتفاق می افتـد. هیگـوچی۹ و همکـاران [۱۱-۸] بـه

۲ Motegi 3 Kiya 4 Govinda 5 Arakeri 6 Fung 7 Kon 8 Sparrow 9 Higouchi

مکانیک سازه ها و شاره ها / شماره / ۱تابستان ۷۲ ۱۳۹۰

بررسی جریان محوری حول استوانه محدود پرداخته اند و علاوه بـر بررسی مشخصات جریان، تأثیر نسبت طول بـه قطـر اسـتوانه را بـر درگ۱ بررسی کردند. آن هااز نیروی مغناطیسـی بـرای معلّـق نگـه داشتن استوانه در تونل باد استفاده کردند تا اثر اتصالات را برطـرف کنند.

علی رغم مطالعات آزمایشگاهی قابل توجهی که در ایـن زمینـه انجام شده (که به برخی از آن ها اشاره شد)، بررسی این جریـان بـه صورت عددی کمتر مورد توجه قرار گرفته است. هلیم۲ و قیا [۱۲] ۳ [۱۲] این جریان را در حالت آرام و در محدوده عدد رینولدز ۲۰۰ تا ۶۰۰ مورد مطالعه قرار دادند.

تا آنجا که مؤلفان بررسی کرده اند، نتایج منتشر شده ای کـه بـه بررسی این جریان در حالت آشفته به صورت عددی پرداخته باشـد، وجود ندارد و مطالعه حاضـر اولـین بررسـی ایـن جریـان در حالـت آشفته به صورت عددی است.

برخی محققان [۱۶-۱۳] جریـان محـوری حـول اسـتوانه را بـا صرف نظر کردن از جدایش جریان در سـر اسـتوانه و بـا تاکیـد بـر پایداری و مشخصات ساختار لایه مرزی پس از جدایش بـه صـورت عددی و آزمایشگاهی بررسی کرده اند. اکثر مقالات عددی ارائه شده توسط آن ها از معـادلات لایـه مـرزی و در مختصـات دو-بعـدی در حالت آشفته استفاده کردهاند.

مقالات منتشر شـده عـددی و تجربـی در بررسـی جـدایش در جریان عمود بر محـور اسـتوانه ماننـد مراجـع [۲۰-۱۷]، بـرخلاف جریان محوری حول استوانه بسیار زیادند که نشان می دهند جریان مورد بررسی در مقاله حاضر کمتر مورد توجه واقع شده است.

هدف اساسی مقاله حاضر مقایسه برخی تکنیک هـای عـددی و ارائه یک روش عددی مناسب برای مـدل سـازی پدیـده جـدایش و بازگشت در جریان محوری حول استوانه است. این جریان در حالت آشفته در رینولدز ۶۰۰۰ بر مبنای قطر استوانه بررسی شـده اسـت. برای مدل سازی نوسانات آشفتگی و اعمال اثـر آن هـا از یـک مـدل آشفتگی رینولدز بالاk- ) 4 استاندارد) و یک مدل آشفتگی رینولـدز

پایین( Shear Stress Transport (SST)) 5 استفاده شده است. علاوه بر این، تکنیک های مختلف عـددی ماننـد الگـوریتم حـل، شـبکه و روش گسستهسازی مورد مقایسـه و بحـث قـرار گرفتـه اسـت و در نهایت روش عددی مناسب برای مدلسازی این جریـان ارائـه شـده است. همچنین ویژگیهای این جریان مانند پروفیـلهـای سـرعت، فشار استاتیک روی سطح استوانه، انرژی جنبشی آشفتگی و ساختار جدایش بحث شده است.

-۲ معادلات حاکم

در جریان آشفته، مقادیر لحظه ای به مؤلفه های متوسـط و نوسـانی، تجزیه می شوند. با متوسط گیری رینولدز بـر معـادلات پیوسـتگی و مومنتوم و با استفاده از مفهوم ویسکوزیته ادی و تقریب بوزینسک۶، بوزینسک۶، معادلات پیوستگی و مومنتوم برای جریان غیـر دائـم، تراکم ناپذیر و دو-بعدی در دستگاه مختصات استوانه ای، به صـورت زیر در میآیند:

(۱)

(۲)

(۳)

t ویسکوزیته آشفتگی نامیده میشود کـه بـا اسـتفاده از یـک مدل آشفتگی به دست می آید و اثر نوسانات آشـفتگی را در مقـادیر متوسط زمانی اعمال می کند. در تحقیق حاضر مدلهای آشفتگی دو معادله ای k- استاندارد و SST بـرای اعمـال اثـر آشـفتگی بـا هـم

شکل -۱ نمای شماتیک الگوی جریان محوری حول استوانه و محورهای مختصات

۱ Drag 2 Halim 3 Ghia

۴ High Reynolds Turbulent Model

۵ Low Reynolds Turbulent Model 6 Boussinesq

مکانیک سازه ها و شاره ها / شماره / ۱تابستان ۷۳ ۱۳۹۰

مقایسه شدهاند.

شایان ذکر است که پدیـده آشـفتگیذاتـاً یـک پدیـده سـه بعـدی محسوب می شود [۲۹] اما مدل سازی دو-بعدی این پدیده با توجـه به کاهش قابل توجـه هزینـه محاسـباتی آن، همـواره مـورد توجـه محققــان بــوده اســت و هــمچنــان مقــالات قابــل تــوجهی بــر پایــه مدل سازی دو- بعدی جریان آشفته منتشر میشـود ( بـه مراجـع [۳۰ – ۱۸] رجوع نمایید).

-۱-۲ مدل آشفتگی k- استاندارد

مدل k- استاندارد رایجترین مـدل دو معادلـهای اسـت کـه توسـط اسپالدینگ۱ و لاندر[۲۱] ۲ معرفی شده است. ایـن مـدل اساسـاً بـر مبنای معادله انتقال کامل انرژی جنبشی آشـفته (k) و نـرخ اتـلاف ( ) بنا شده است. معادلات این مدل به صورت زیر است:

(۴)

(۵)

که در آن ویسکوزیته آشفته ( t) و جمله تولید (Gk) به صورت زیر محاسبه میشود:
(۶)

(۷)

و در آن اندیس i و j به ترتیب نشان دهنده راستای x و r است. مقادیر ثابت معادلات k- به فرم زیر است.

(۸)

مدل k- استاندارد یک مدل رینولدز بالا است و که برای حل میدان جریان در نزدیکی دیوارهای بدون لغزش از توابع دیوار استفاده میکند.

در تحقیق حاضر از تابع دیوار لاندر- اسپالدینگ [۲۲] برای مدلسازی نزدیک دیوار استفاده شده است.

-۲-۲ مدل آشفتگی Shear Stress Transport (SST)

نمونههای اولیه این مدل در سالهای ۱۹۹۳ و ۱۹۹۴ توسط منتر۳ [۲۴-۲۳] ارائه شده است. منتر و کنتز[۲۵] ۴ در سال ۲۰۰۳

۱ Spalding 2 Launder 3 Menter 4 Kuntz

صورت اصلاح شده این مدل را ارائه دادند که جدایش جریان را دقیقتر مدل میکرد. مدل SST تلفیقی از دو مدل k- و k- است که از اولی در لایههای نزدیک دیوار و از دومی در نقاط دور از دیوار استفاده میکند. مدل [۲۶] k- در لایه های نزدیک دیوار به طور قابل ملاحظهای دقیقتر از مدل k- است. مدل SST یک مدل رینولدز پایین است که لایه های نزدیک دیوار را با در نظر گرفتن شبکه ای به اندازه کافی ریز حل میکند. معادلات این مدل در زیر آورده شده است:

(۹)

(۱۰)

B در معادله تابع تبدیل معادله به است که توسط رابطه زیر محاسبه میشود:
(۱۱)

(۱۲)

در روابط فوق F1 تابع اتصال است که مقدار آن در نقاط نزدیک به دیوار برابر یک و در نقاط دور از دیوار به صفر میل میکند و به این ترتیب معادله (۱۰) را در نزدیکی دیواره به معادله و در نقاط دور از دیواره به معادله تبدیل میکند. جزئیات بیشتر این مدل در مرجع [۲۵] ارائه شده است.

-۳-۲ شرایط مرزی

شکل ۲ شرایط مرزی و هندسه دامنه حل را نمایش میدهد. در تحقیق حاضر برای سرعتها و کمیتهای آشفتگی از شرط مرزی یکنواخت در ورودی استفاده شده است که رابطه آنها به صورت زیر است:

(۱۳)

(۱۴)

(۱۵)

(۱۶)

که در آن I شدت آشفتگی۵ و نسبت ویسکوزیته آشفتگی۶ است که به ترتیب برابر ۰ ۰۰۵ و ۱ قرار داده شد.

۵ Turbulence Intensity 6 Turbulent Viscosity Ratio

مکانیک سازه ها و شاره ها / شماره / ۱تابستان ۱۳۹۰

شکل -۲ دامنه حل و شرایط مرزی

در خروجی از شرط مرزیکاملاً توسعه یافته استفاده شده است. در مرز بالایی (شعاع بیرونی) دامنه حل از شرط مرزی دوردست۱ به صورت زیر استفاده شده است.

(۱۷)

در مرز پایینی دامنه حل (محور استوانه) هم شرط تقارن اعمال شده است. شرایط مرزی سرعت و انرژی جنبشی آشفتگی (k) در دیوار بدون لغزش به صورت u = v = k = 0 است. برای و در مرز دیوار بدون لغزش همان طور که ویلکاکس در [۳۱ – ۲۶] به دست آورده است از مقادیر روابط (۱۸) و (۱۹) استفاده شد.

(۱۸)

(۱۹)

که در آن =۰٫۴۱ ، C =0. 09 و y کوتاهترین فاصله گره مرزی تا دیوار است. اندیس p نشان دهنده گره مرزی دیوار بدون لغزش است.

-۳ گسسته سازی و روش حل

برای گسسته سازی معادلات از روش حجم محدود در شبکه جابهجا شده۲ استفاده شده است. جملات جابهجایی با روش بالادست مرتبه اول۳ و جملات پخش با روش مرکزی درجه دو۴ گسسته شدهاند. آزمایشهای عددی در تحقیق حاضر نشان میدهد که استفاده از روش هیبرید۵ در این مسئله برای گسسته سازی جملات جابهجایی جابهجایی در معادلات مومنتوم میتواند به خطای قابل توجهی منجر شود. برای ارتباط فشار-سرعت از الگوریتم [۲۷] SIMPLER استفاده شده است.

۱ Far Field Boundary Condition 2 Staggered Grid 3 First Order Upwind Scheme

۴ Second Order Central Scheme 5 Hybrid Scheme

۷۴

در استفاده از الگوریتم SIMPLE، همگرایی برنامه به شدت به ضریب تخفیف۶ فشار وابسته میشود وبعضاً انتخاب ضریب تخفیف مناسب برای فشار بسیار دشوار میشود. در الگوریتم SIMPLER با توجه به اینکه میدان فشار در گام ابتدایی الگوریتم حل می شود، نیازی به تعیین ضریب تخفیف برای فشار نیست. آزمایشهای عددی نشان میدهد که استفاده از این الگوریتم، به طور قابل توجهی از مشکلات واگرایی میکاهد.

جریان محوری حول استوانه در حالت آشفته با توجه به نتایج عددی حاضر و آزمایشهای تجربی مقالات منتشر شده دارای جواب متوسط زمانی پایدار است. با این حال، حل عددی معادلات به صورت پایدار مشکلات حائز اهمیتی را به وجود میآورد. برای همگرایی حل عددی معادلات پایدار بایستی مقادیر مناسبی برای ضریب تخفیف مؤلفههای سرعت در راستای شعاعی و محوری انتخاب کرد. با توجه به نظر پاتانکار[۲۷] ۷ و ورستیگ[۲۸] ۸ در مورد استفاده از ضریب تخفیف سرعتها به منظور همگرایی، بایستی یک جمله دربردارنده ضریب تخفیف سرعت به معادلات مومنتوم اضافه شود.

انتخاب نامناسب این ضریب تخفیفها حل را به راحتی به سمت واگرایی پیش میبرد. در تحقیق حاضر برای مستقل کردن همگرایی حل عددی، از ضریب تخفیف سرعتها از روش شبه-گذرا استفاده شده است. در روش شبه-گذرا معادلات به صورت غیر دائم حل می شوند با این تفاوت که حل زمانهای میانی چندان اهمیتی ندارد و گام زمانی طوری انتخاب میشود که حل مسیر همگرایی را راحتتر بپیماید.

با استفاده از روش شبه-گذرا جمله زمان وارد مسئله میشود. جمله زمانی اضافه شده به معادلات مومنتوم همان عملکرد همگرا کننده جمله ضریب تخفیف سرعتها را دارد، با این تفاوت که انتخاب یک گام زمانی مناسب برای همگرایی مسئله بسیار آسانتر از انتخاب ضریبتخفیف سرعتها است. به این ترتیب برای همگرایی مسئله دیگر نیازی به انتخاب ضریب تخفیف سرعت نمیباشد و مسئله در زمان کمتری به سمت همگرایی میل میکند.
در تحقیق حاضر از یک شبکه جابه جا شده، سازمان یافته۹ و غیر-یکنواخت شاملحدوداً ۲۹۰۰۰ گره با مدل SST و ۵۵۰۰ گره با مدل k- استاندارد استفاده شده است. آزمایشهای استقلال از شبکه نشان میدهد که استفاده از شبکه ای با گره بیشتر دقت را به طور محسوس افزایش نمیدهد. شکل ۳ تصویر متمرکز شده شبکه در نزدیکی دیوار که برای حل جریان با استفاده از مدل SST استفاده شده است را نشان میدهد.

۶ Under relaxation 7 Patankar 8 Versteeg 9 Structured

مکانیک سازه ها و شاره ها / شماره / ۱تابستان ۷۵ ۱۳۹۰

شکل -۳ شبکه بندی مدل عددی در اطراف سر استوانه با مدل آشفتگی SST

تراکم مناسب شبکه در نزدیکی دیوار به مدل آشفتگی انتخاب شده وابسته بوده و نقش حیاتی در نیل به جواب دقیق ایفا میکند. در تحقیق حاضر تراکم شبکه در نزدیکی دیوار طوری انتخاب شده است که در استفاده از مدل k- استاندار ۳۰ < y+ < 100 و در استفاده از مدل آشفتگی SST میانگین y+ برابر ۰ ۷۹ شود.

برای مستقل کردن جواب از ابعاد دامنه حل، شعاع دامنه حل از ۱۰ تا ۲۵ برابر قطر تغییر داده شد. طول دامنه حل هم از ۱۷ تا ۳۵ برابر قطر آزمایش شد. نتایج نشان داد که اگر شعاع و طول دامنه حل به ترتیب از ۱۲ و ۱۷ برابر قطر بزرگتر باشد، جوابها مستقل از ابعاد دامنه حل خواهند بود. در تحقیق حاضر از شعاع و طول دامنه حل به ترتیب برابر ۱۵ و ۲۰ برابر قطر استفاده شده است. سر استوانه هم به فاصله ۱۲/۵ برابر قطر از ورودی قرار داده شد.

تکنیکهای عددی اتخاذ شده با استفاده از یک برنامه کامپیوتری که به زبان فرترن ۱ ۹۰ نوشته شد، اجرا شده است. در برنامه حاضر برای مدلسازی پدیده جدایش و بازگشت جریان محوری روی یک استوانه از یک روش چند-شبکهای استفاده شده است. با استفاده از این روش نتایج حل یک شبکه درشتر، به صورت شرایط اولیه شبکه ریزتر استفاده میشود. روش چند-شبکهای مورد استفاده از میانیابی Bi-linear برای تشکیل شرایط اولیه شبکه جدید استفاده میکند. علاوه بر این استفاده از روش چند-شبکهای برای استفاده از نتایج به دست آمده برنامههای اجرا شده قبلی به عنوان شرایط اولیه در برنامههای جدید با تغییرات اعمالی مانند جابه جایی تراکم شبکه در تعداد گره تقرباًی ثابت، تغییر ابعاد دامنه حل و بررسی استقلال جوابها نسبت به تعداد گرههای شبکه، موجب کاهش قابل توجه زمان اجرای برنامه تا نصف زمان مورد نیاز برای اجرای برنامه بدون استفاده از این روش می شود. با توجه به اینکه زمان اجرای هر برنامه بیش از ۱۱۰ ساعت با استفاده از روش

چند- شبکه ای- است، استفاده از این روش در کاهش زمان اجرای برنامه بسیار مفید واقع شد.

در مدلسازی عددی مسائل شامل جدایش انتخاب معیارهای مناسب برای همگرایی از اهمیت ویژهای برخوردار است. در مسئله حاضر از سه معیار باقیماندهها، تغییر متغیرها در گامهای زمانی متوالی و طول بازگشت به طور همزمان برای همگرایی مسئله استفاده شده است که مهمترین آنها طول بازگشت۲ جریان است که اساسیترین ویژگی ساختار جدایش جریان است. شکل ۴ تغییرات طول برگشت را به ازای تعداد گام زمانی سپریشده نشان میدهد. همگرایی حل وقتی اتفاق میافتد که طول بازگشت ثابت شود و با افزایش زمان اجرای برنامه تغییر نکند.