برخی ازمراجع:
[۱] P. A. Davidson, “An Introduction to Magnetohydrodynamics”, Cambridge University Press, 2001.

[۲] N.S. Winowich, W.F. Hughes, J.I. Ramos, “Numerical simulation of electromagnetic pump flow” Numer. Methods Laminar Turbulent Flow, Vol. 5(2), pp. 1228-1240, 1987.
[۳] J.Jang and S.S.Lee, “Theoretical and experimental study of MHD (Magnetohydrodynamic) micropump”, Sensors and Actuators, Vol. 80, pp. 84-89, 2000.

[۴] H.Duwairi, M. Abdollah, “Thermal and flow analysis of a magneto-hydrodynamic micropump” Microsyst Technol, Vol.13, pp. 33-39, 2007.

[۵] P.Woias, “Micropumps-past, progress and future prospects”, Sensors and Actuators B, Vol. 105, pp. 28-38, 2005.

١. مقدمه
علوم مغناطيس و مکانيک سيالات حد
(MHD) از سال ١٩٣٠ و يا ١٩٤٠ رشد کرده است [١]. شايد اين امر به اين علت اسـت کـه مهندسـان قـرن نـوزدهم علاقـه مندي کمي به سرمايه گذاري بر روي امکاناتي که MHD مي تواند فراهم کند، داشته اند . البته نام بـسيار مناسـب بـراي ايـن زمينه مطالعاتي مکانيک سيالات مغناطيسي ٤ است ، اما اسم اصلي که عموما استفاده مي شود هيـدروديناميک مغناطيـسي مـي باشد. هانس آلفوين ٥ (١٩٠٨-١٩٩٥) اولين کسي بود که اصطلاح MHD را بکار برد و به سبب کارهايش در اين زمينه جـايزه نوبل را برد. کار بر رو ي سيالات غير قابل تراکم در MHD، در سال هاي ١٩٣٦-١٩٣٧ توسـط هـارتمن ٦ و لازاروس بـصورت مطالعات تجربي و تئوري جريان MHD در کانال ها صورت گرفت . آزمايشات محدودي توسط برخي دانشمندان مانند فـارادي در قرن نوزدهم صورت گرفت . پيشرفت MHD در مهندسي کند بوده و تا ١٩٦٠ خيلي چشمگير نبوده است . هر چنـد برخـي کارهاي جديد توسط مهندس هارتمن مانند اختراع پمپ الکترومغناطيس در سال ١٩١٨ صورت گرفته است [١]. هارتمن را پدر هيدروديناميک مغناطيسي فلزات مايع ١ مي دانند و در واقع از جريان هارتمن براي توصيف جريان هاي داخل کانـال در حـضور ميدان مغناطيسي استفاده مي شود.
تکنولوژي MHD براي سه کاربرد زير مورد توجه قرار گرفت : [١]
١) راکتورهاي توليد سريع ٢ که از سديم مايع به عنوان خنک کننده هسته استفاده مي کنند. (براي خنک کاري نيـاز بـه پمپاژ سديم مايع مي باشد)
٢) کنترل گداخت ترموهسته اي٣ که نياز به پلاسماي داغ داشته که از اطراف سطوح ماده با نيروي مغناطيسي دور نگـه داشته مي شوند.
٣) توليد توان MHD
دو دهه بعد، ميدان مغناطيسي بطور معمول براي گرما، پمپ ، چرخاندن و شناورکردن فلـزات مـايع در صـنايع متـالورژي استفاده شدند. يکي ديگر از کازبردهـاي متفـاوت پمـپ MHD تفنـگ الکترومغناطيـسي اسـت کـه گـاهي بـه آن پرتـابگر الکترومغناطيسي ٤ يا تفنگ ريلي ٥ مي گويند[١]. وينوويچ و ديگران از روش اختلاف محدود و روش المان محدود بـا اسـکيم گلرکين براي آناليز جريان MHD در کانال استفاده کرده اند[٢]. جانگ و لي ميکروپمپ MHD با سيال عامل آب دريا را مورد بررسي قرار داده اند[٣]. اخيرا دوواري و عبداله جريان آرام کـاملا توسـعه يافتـه گـذرا و توزيـع دمـا را در يـک پمـپ MHD مورد بررسي قرار داده اند[٤]. با اين توضيحات مي توان گفت تفـاوت MHD و الکتروديناميـک مرسـوم در سـيال بودن هادي مي باشد. که اين امر سبب تقابل بين u و B شده که ارزيابي آن مشکل و ماهرانه است و همين امـر سـبب مـي شود که معادلات حرکت و انرژي در کنار معادلات الکتروديناميک بررسي گردند. اما تا کنـون مرجـع کـاملي جهـت بررسـي معادلات حاکم لازم براي جريان MHD درون کانال ارائه نشده است .
لذا در ادامه ابتدا معادلات حاکم و اعداد بي بعد مورد نيـاز در موضـوع هيـدروديناميک مغناطيـسي (MHD) را مطالعـه کرده، سپس در خصوص سينماتيک و ديناميک MHD بطور مختصر توضيح مي دهـيم . معـادلات لازم بـراي بررسـي جريـان MHD در کانال را بررسي نموده و در انتها حل جريان براي يک پمپ MHD در ميکروکانال آمده است .
٢. معادلات حاکم
الف ) معادلات حاکم الکتروديناميک
در اين بخش مواد هادي غير مغناطيس را مورد مطالعه قرار داده و براي سـادگي فـرض مـي شـود کليـه خـواص ماننـد رسانايي الکتريکي σ بصورت يکنواخت هستند و ماده غير قابل تراکم است . موضوعات مورد مطالعه ما نيروي لرنتز، قـانون اهـم ، قانون آمپر و قانون فارادي مي باشد.
قوانين مذکور بصورت معادلات ماکسول براي موادي که مغناطيس و دي الکتريک نيستند، بيان مي شوند و بـه بررسـي روابـط پارامترهاي الکتريکي و مغناطيسي به شرح زير، مي پردازد.
– ميدان الکتريکي E که بصورت مجموع ميـدان الکترواسـتاتيک Es و ميـدان الکتريکـي القـا شـده بوسـيله تغييـرات ميـدان مغناطيسي Ei ميباشد. ميدان مغناطيسي B ، نيروي لرنتز F ، چگالي جريان j، چگالي شارژ ρe، شارژ q، قابليـت نفـوذ فـضاي خالي ε٠ ، ويسکوزيته μ ، سرعت هادي u و زمان t را در نظر ميگيريم .

اگر بخواهيم معادلات مذکور را بصورت قابل استفاده در MHD درآوريم ، خواهيم داشت :

با ترکيب قوانين اهم و آمپر و معادله فارادي مي توان به يک رابطه بين ميدان مغناطيسي B و سرعت u رسيد.

اين معادله را گاهي معادله القا نيز مي نامند. ضريب λ را پخش مغناطيسي ١ ناميده و واحد آن (s.m٢) مي باشد.
ب) معادلات حاکم مکانيک سيالات
دو معادله پيوستگي و مومنتوم که براي توصيف جريان سيال بکار مي روند در حالت کلي براي جريان MHD بصورت زير بيان
مي شوند:

همانطور که ملاحظه مي شود نيروي لرنتز که ناشي از ميدان هاي مغناطيسي و الکتريکي است بصورت ترم BJ در حالـت کلي در معادلات نوير استوکس ظاهر مي شود.
از آنجاييکه معمولا تعريف اعداد بي بعد در مطالعه و بررسي معادلات حاکم در شرايط مختلف و تاثير نيروها و پارامترهـا کمـک مي کند، لذا در زير تعريف اعداد بي بعد مورد استفاده در مسايل MHD آمده است .
لازم به توضيح است که اعداد Re،N و Ha همگي به نيروهاي موثر در MHD و نسبت آنها بستگي دارند، اما عـدد رينولدز مغناطيسي به فرورفت و پخش ميدان مغناطيسي وابسته است و در حقيقـت بررسـي ايـن پـارامتر مهـم تـر از بررسـي رسانايي الکتريکي به تنهايي مي باشد. اگر رينولدز مغناطيسي بزرگ باشد، پخش بسيار ضـعيف اسـت و اگـر ايـن عـدد خيلـي کوچکتر از يک باشد اثر سرعت بر ميدان مغناطيسي بسيار کاهش مي يابد.

٣. سينماتيک و ديناميک MHD
همانطور که در بخش هاي قبلي ذکر گرديد براي جريان هايي که عدد رينولدز مغناطيسي آنها خيلـي کـوچکتر از يـک باشد، مي توان از تاثير سرعت بر ميدان مغناطيسي صرف نظر نمود. اگر بخواهيم تاثير سرعت بـر ميـدان مغناطيـسي را بـدون نگراني در خصوص علت و مرجع ميدان سرعت و يا عکس العمل برگشتي نيروي لرنتز بر ميدان سرعت مطالعه کنيم ، فرض مي شود سرعت تعيين شده و بر روي تقابل بين سرعت و ميدان مغناطيسي با لحاظ کردن معادلات ماکسول تمرکز مي شـود. کـه اصطلاحا به اين مطالعات سينماتيک MHD مي گويند. و هدف بدست آوردن ميـدان مغناطيـسي بـا اسـتفاده از معادلـه القـا (معادله ١٠) مي باشد. براي حل اين معادله از هم ارز بودن مسايل ميدان دما و ميدان مغناطيسي و بـراي پـيش بينـي کـردن رفتار سيال از قانون اول هلمهولتز و فرضيه کلوين استفاده مي شود. قانون اول هلمهولتز بيان مي کند که جزئي از سيال که بـر روي خطوط ميدان قرار گرفته در هر شرايط اوليه اي براي هميشه در همان حالت بر روي خطوط ميدان باقي مـي مانـد. و بـر اساس تئوري کلوين شار مغناطيسي عبوري از هر حلقه که با سيال جابه جا مي شود ثابت است [١].