مقدمه

همگام با رشد علوم و فناوری، مسائل مهندسی نیز روز به روز پیچیدهتر میشوند؟ با پیچیدهتر شدن مسائل و لزوم حل سریعتر و دقیقتر آنها، روشهای تحلیلی، دیگر جوابگوی نیازهای روز افزون جوامع نیستند×؟ با چنین نگرشی، محققان همواره سعی میکنند در کنار توسعه مبانی علوم، روشهای عددی را نیز توسعه بخشند؟ روش اجزای محدود، یکی از روشهایی است که کاربرد فراوانی در حل مسائل بسیاری

از رشتههای مهندسی و به خصوص مسائل مکانیک جامدات دارد و در چند دهه گذشته به عنوان یکی از دروس دانشگاهی در بسیاری از

رشتههای مهندسی آموزش داده می شود؟ با توجه به استفاده بسیار وسیع از این روش در نرم افزارهای تجاری تحلیل و طراحی مهندسی و

نظر به اینکه عدم توجه به تقریبی بودن آن میتواند منجر به نتایجکاملاً اشتباه وبعضاً فاجع بار گردد، پرداختن به موضوع مهم بررسی

خطاها و گنجاندن مباحث برآورد خطا و حل تطابقی در سر فصل دروس دانشگاهی و نیز دورههای آموزشی از اهمیت بسیار زیادی

برخوردار میباشد که متأسفانه از آن غفلت شده است؟ ریشههای توسعه این روش را باید در اوایل دهه×ًٌُُ میلادی جستجو کرد

روشهای اجزای محدود به شکل امروزی آن، ریشه در کارهای ترنر و همکاران وی در سال×ٌُِْ دارد.×در سال×ًٌُّ، کلاف نام اجزای محدود را بر این روش نهاد؟ کاربرد این روش برای حل معادلات دیفرانسیل پارهای در سال×ٌُِّ×توسط زینکویچ و چونگ پیشنهاد شد

بٌب. از همان آغاز مدلسازی رخدادهای فیزیکی توسط کامپیوتر و شکل گیری مبانی اجزای محدود، وجود خطاهای عددی در محاسبات، منشأ اصلی نگرانی بوده است؟ از اولین مقالههایی که در آن مسأله تخمین خطا مطرح گردید، میتوان به مقالههایی که توسط ریچاردسون در سال×ًٌٌُ نوشته شده اشاره کرد. کار اصلی در تخمین خطا در سال×ٌَُْ و توسط بابوشکا و رینبولت آغاز شد. روش آنها بر این اساس بود، که باقیمانده را در یک گروه از المانها و یا یک المان تنها مورد بررسی قرار میدادند و به کمک آن میتوانستند خطا را تخمین بزنند×بٍب. در سال×ٌَُْزینکویچ و زو روشی برای برآورد خطا بر اساس×بازیافت تنشها پیشهاد کردند بَب. همین محققین در همان سال

روش ساده ای برای تخمین خطای کلی و محلی در حل المانهای محدود و شکلی ساده از آنالیز تطابقی برای به روش h را ارائه کردند بَب. در ادامه، این دو محقق در سال×ٌٍُُ روش SPR را در برآورد خطای حل المانهای محدود وآنالیز تطابقی، طی×دو مقاله معروف،

معرفی کردندبِ ،ُب. تحقیق حاضر سعی کرده است تا خواننده را با اصول روش تخمین خطا، آشنا سازد و همچنین چگونگی حل تطابقی در روش اجزای محدود را بیان کند و در نهایت با ارائه یک روش با قابلیت اطمینان بالا و دقت کنترل شده به تعیین ضریب شدت تنش

صفحات ترکدار تحت کشش بپردازد؟ به این منظور برنامههای کامپیوتری توسط اینجانب نوشته شده است که قادر به تخمین خطای تحلیل اجزای محدود و تولید شبکه تطابقی میباشد، برای آنالیز مدل به نرم افزار Ansys انتقال یافته است.

-۲ روشهای برآورد خطا مبتنی بر بازیافت تنش

به طور کلی میتوان گفت که بازیافت تنش، روشی است که هدف از آن بالا بردن دقت، و هموار نمودن میدان تنش به دست آمده از حل

اجزای محدود است؟ در این روش، با استفاده از حل اجزای محدود، تابع مورد نظر را در نقاط خاصی که دقت بالاتری نسبت به سایر نقاط

و گرهها دارند به دست آورده و از آنها در به دست آوردن مقادیر بهبود یافته استفاده میکنیم؟ لازم به یادآوری است که با به دست آوردن

مقادیر بهبود یافته تنش در نقاط خاص مذکور در بالا، به راحتی میتوان تنش بهبود یافته در هر نقطه دیگر، و به ویژه نقاط گرهی را به وسیله درونیابی با استفاده از توابع شکل المانها در رابطه (۱)به دست آورد بّب:

سال دوم، شماره ۳، پاییز ۴۳۳۱ ۵۸

Archive of SID
نشریه مهندسی سازه و ساخت انجمن مهندسی سازه ایران

(۱)

را طوری تعریف میکنیم که خطای هموار سازی روی کل دامنه صفر شود. تابع وزنی این خطا را نیز همان توابع شکل در نظر میگیریم.
(۲)

با جایگذاری از رابطه اولی مقدار به صورت زیر بدست میآید:

(۳)

که در آن بردار ضرایب A به صورت زیر میباشد:

(۴)

توابع شکل مورد استفاده در المان است. مقادیر مربوط به نقاط با دقت بالاتر و که در روابط فوق با استفاده از این میدان بهبود یافته

خطای بازیافت بصورت رابطه (۵) تعریف میشود:

(۵)

که در رابطه بالا تنش ناشی از تحلیل متعارف اجزای محدود میباشد.×روشهای متعددی برای بازیافت تنش از حل اجزای محدود وجود دارد که از آن میان میتوان به روش میانگین گیری، روش تصویر و روش استفاده از نقاط فوق همگرا اشاره کرد؟ تعریف فوق مقدار

خطای برآورد شده را در تک تک نقاط دامنه میدهد، ولی برای ریز سازی شبکه معیار مناسبی نمیباشد. چرا که ممکن است در یک نقطه

خاص مثل نوک ترک تنش به سمت بینهایت برود که خطا در این نقطه بسیار بالا خواهد بود ولی در مجموع خطای کل جواب قابل قبول باشد. از این رو به جای خطای نقطه به نقطه نرم خطا تعریف میشود که به صورت انتگرال عددی از تابع خطا روی دامنه است. یکی از معروفترین نرمهای خطا ، نرم میباشد که در واقع همان جذر مربعات، ولی به صورت تابع پیوسته میباشد. به این ترتیب نرم تابع خطای تنش برابر خواهد بود با :

(۶)

نرم خطای فوق برای کل دامنه محاسبه شده است، ولی میتوان آن را روی یک المان تنها نیز محاسبه نمود. از تعریف نرم خطا واضح است

که مجموع مربعات نرم خطای کلیه المانها برابر مربع نرم خطا خطای کل دامنه خواهد شد. بنابراین اگر کل المانها را با m نشان دهیم، خواهیم داشت:

برای آنکه شبکهای به صورت بهینه درآید، باید خطا روی کل دامنه آن به صورت یکنواخت توزیع شود، در غیر اینصورت قسمتی از دامنه

بیش از حد نیاز ریز و قسمت دیگری از آن خیلی درشت و کم دقت شبکهبندی شده است. بنابراین طبق رابطه فوق کل نرم خطا باید به

صورت یکنواخت بین المانها توزیع گردد. مساله توزیع یکنواخت خطا معیاری برای نحوه تولید شبکه جدید میباشد.

-۳ حل تطابقی در اجزای محدود

یکی از اهداف مهم روش آنالیز تطابقی پیدا کردن شبکه المان بهینه است؟ منظور از شبکه المان بهینه شبکهای است که با تعداد المانهای ثابت، حداقل خطای حل به روش اجزای محدود را داشته باشد؟ اولین تلاش برای رسیدن به شبکه المان بهینه توسط نایس و مارکال× در

سال دوم، شماره ۳، پاییز ۴۳۳۱ ۵۹

Archive of SID
نشریه مهندسی سازه و ساخت انجمن مهندسی سازه ایران

سال×ٌُُْ صورت گرفت بْب. در این روش موقعیت گرهها به صورت نامعلوم در نظر گرفته میشود و سپس با استفاده از حداقل نمودن

انرژی پتانسیل میتوان موقعیت گرهها را تعیین نمود؟ پس از آنکه مقدار خطا بر روی المانهای شبکه قبلی مشخص گردید، باید شبکه به

نحوی اصلاح شود که این خطا در حد قابل قبول قرار گیرد. به طور کلی دو روش برای بهبود کیفیت شبکه مورد استفاده قرار میگیرد:

روش h-refinement که در آن بهبود شبکه با تغییر اندازه المانها در نقاط مختلف دامنه انجام میشود و روش p-refinement که در آن بهبود شبکه از طریق بالا بردن درجه توابع شکلی انجام میشود، در اینجا از روش اول برای بهینه سازی شبکه استفاده میشود. در گام

نخست برای آنکه میزان خطای قابل قبول دامنه وابسته به نوع مساله نباشد، خطای دامنه را نسبت به نرم تنش نرمال میکنیم. به این ترتیب

درصد خطای تخمین زده شده بر روی دامنه برابر است با:

(۸)

مقدار درصد خطای قابل قبول برای جواب مساله نیز که به صورت پیش فرض تعیین میگردد نسبت به نرم تنش نرمال سازی میگردد:

(۹)

اگر بخواهیم خطا به صورت یکنواخت بر روی شبکه توزیع شود و با توجه به رابطههای قبلی، میزان خطای قابل قبول برای هر المان به

صورت رابطه (۱۰) تعیین میشود:

(۱۰) )

اندازه جدید المانها (hi) new برای رسیدن به خطای هدف از رابطه (۱۱) بدست میآید:

(۱۱)

برای آنکه مولد شبکه هنگام تولید شبکه جدید براساس چگالی المان داده شده دچار مشگل نگردد، از تولید المانهای خیلی درشت و خیلی ریز اجتناب میگردد. بنابراین یک حد بالا و پایین در رابطه (۱۲)برای اندازه المانها تعیین میگردد:

(۱۲)

این امکان وجود دارد که با یک مرحله ریز سازی شبکه، درصد خطای جواب به مقدار هدف نرسد. بدیهی است که در چنین حالتی مراحل

ارزیابی خطا و ریز سازی شبکه با شبکه مرحله جدید باید مجددا ً انجام پذیرد. بررسی مسائل مختلف نشان میدهد که بکار گیری تکنیک ذکر شده در حداکثر دو مرحله، جوابها را به خطای هدف خواهد رساند.

-۴ روش همبستگی جابجاییها

روش همبستگی جابجاییها یکی از سادهترین و نخستین روشهای استخراج مقادیر ضریب شدت تنش از حل اجزای محدود میباشد.

مبنای این روش استفاده از جوابهای تحلیلی سه مود و ارتباط دادن میدانهای جابجایی به ضرایب شدت تنش از طریق این روابط است.

با مراجعه به جوابهای تحلیلی میتوان رابطه بین میدانهای جابجایی سه جهت مختلف با ضرایب شدت تنش مود را به ترتیب در رابطه

(۱۳) بیان نماییم:

(۱۳)

سال دوم، شماره ۳، پاییز ۴۳۳۱ ۶۰

Archive of SID
نشریه مهندسی سازه و ساخت انجمن مهندسی سازه ایران

که زاویه نقطه مورد نظر با امتداد لبه ترک و r فاصله آن نقطه تا نوک ترک میباشد. حال اگر نقطه مورد نظر را روی لبه آزاد ترک در نظر

بگیریم مقدار زاویه برابر خواهد بود اگر نقاط روی نوک ترک را با اندیس a و نقاط روی لبه ترک را با اندیس b نشان دهیم،

جابجایی نسبی این نقاط از رابطه فوق با برابر بدست میآید. در این حالت مقادیر , , به صورت رابطه (۱۴) خواهند شد:

(۱۴)

وضعیت نقاط انتخاب شده بر روی نوک ترک و لبه ترک که با اندیس a و b مشخص شدهاند در شکل (۱) نشان داده شده است.

همانگونه که در شکل مشخص است به ازای هر گره نوک ترک میتوان دو گره در لبه بالایی و پایینی انتخاب نمود. در عمل برای آنکه اثر

المان بندی در حل از بین برود، مقدار ضریب شدت تنش از هر دو گره محاسبه شده و میانگینگیری میشود همچنین اگر نحوه آرایش گرهها به گونهای نبود که گرهها دقیقاً مقابل هم قرار بگیرند، روش را برای یک نقطه که مقابل گره است ولی خود گره نیست بکار میبریم.

برای تعیین جابجایی های آن نقطه از توابع شکلی المانها استفاده مینماییم.

شکل :۱ گرههای انتخابی در روش همبستگی جابجاییها

مزایای استفاده از این روش سادگی آن و تفکیک مودها در محاسبه ضرایب شدت تنش میباشد. در نقطه مقابل مشکلی که در این روش موجود است آن است که کدام گره برای انجام روش انتخاب گردد. این گره از سویی باید نزدیک به لبه ترک باشد تا در منطقه تحت تاثیر

ترک قرار داشته باشد، و از سوی دیگر نباید دارای جابجایی خیلی کوچک باشد تا خطا در محاسبه جابجایی منجر به خطای زیاد در روش

نشود. برای جبران این نقیصه میتوان روش را برای چند گره با فواصل مختلف از نوک ترک بکار برد و به ازای هر گره ضرایب شدت

تنش را محاسبه کرد. ضریب شدت تنش دقیقتر از برونیابی این مقادیر به ازای r = 0 تعیین خواهد شد.